Неравенство Бернулли.
Для x ≥ -1 имеет место неравенство: (1 + x)n ≥ 1 + nx, n ∈ Z +.
Доказательство
Докажем с помощью метода математической индукции.
1. База индукции.
Для n = 0 имеем 1 ≥ 1.
База проверена.
2. Переход.
Пусть для некоторого k ∈ N имеет место
(1 + x)k ≥ 1 + kx;
Докажем, что (1 + x)(k + 1) ≥ 1 + (k + 1)x;
Исходя из перехода:
(1 + x)(k + 1) = (1 + x)k(1 + x) ≥ (1 + kx)(1 + x) ≥ 1 + kx + x + kx2 ≥ 1 + kx + x = 1 + (k + 1)x.
Переход доказан, а значит и все утверждение верно. Что и требовалось доказать.
Отметим, что равенство достигается в следующих случаях:
- при любых x ≠ -1, n = 0, n = 1;
- x = -1, любые n ≠ 0.