Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия


Неравенство Коши.


a1 + a2 + ... + an

n

n a1a2...an , где aiR, ai ≥ 0, i = 1,2,...,n.

Доказательство


Для начала отметим, что если хотя бы одно из чисел ai = 0, правая часть будет равняться нулю, а левая - неотрицательной. Потому далее будем рассматривать лишь ai > 0.

Выведем вспомогательное неравенство. Обозначим за Gm = m a1a2...am. Отметим, что

am+1 = Gm+1m+1/Gmm = Gm(Gm+1/Gm)m+1 = Gm(1 + (Gm+1/Gm - 1))m+1.

Согласно неравенства Бернулли

Gm(1 + (Gm+1/Gm - 1))m+1Gm(1 + (m+1)(Gm+1/Gm - 1)) = Gm + (m+1)Gm+1 - (m+1)Gm = (m+1)Gm+1 - mGm.

Или am+1 ≥ (m+1)Gm+1 - mGm (*)

Теперь воспользуемся методом математической индукции.

1. База индукции.

При n = 1 неравенство Коши имеет вид a1 = a1. База проверена.

2. Переход.

Пусть при неком n = k неравенство Коши выполняется, то есть

a1 + a2 + ... + ak

k

k a1a2...ak = Gk.

Докажем, что выражение верно и при n = k+1.

Исходя из перехода:

a1 + a2 + ... + akkGk.

Добавляем к данному неравенству (*) при значении m = k и получим:

a1 + a2 + ... + ak + ak+1kGk + (k+1)Gk+1 - kGk = (k+1)Gk+1.

Исходя из этого

a1 + a2 + ... + ak+1

k+1

Gk+1 = k+1 a1a2...ak+1.

Переход доказан, а значит и наше предположение верно. Что и требовалось доказать.


Отметим, что равенство достигается лишь в том случае, когда a1 = a2 = ... = an.


Назад

Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Леонард Эйлер (Швейцария, Россия) (1707 - 1783) был настолько плодовит, что и через 50 с лишним лет после его смерти его труды все еще печатались впервые.
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.