Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения
1...2

Доказать тождество An - 1m = Anm - mAn - 1m - 1.

____________________________________

Используем формулы, получаем:

(n - 1)!

(n - m - 1)!

= n!

(n - m)!

- m (n - 1)!

(n - m)!

(n - 1)!

(n - m - 1)!

= n! - m(n - 1)!

(n - m)!

Умножаем обе части на (n - m)!

(n - m)(n - 1)! = n(n - 1)! - m(n - 1)!

(n - m)(n - 1)! = (n - m)(n - 1)!

0 = 0.

Что и требовалось доказать.


 

Определить An2, если пятое слагаемое разложения (3x + 1

x

) n не зависит от x.

_____________________________________

Для начала найдем n. Пятое слагаемое указанного в условии разложения будет равно Сn4(3x)(n - 4) · (1/x)4.

Сказано, что данный член разложения не зависит от x. То есть степень x должна равняться 0. Найдем степень x в данном члене разложения:

(3x)(n - 4) · (1/x)4 = x(n - 4)/3x- 4 = x(n - 16)/3.

Значит (n - 16) / 3 = 0. Откуда n = 16.

Найдя n мы можем легко подсчитать An2.

A162 = 16!

14!

= 16·15 = 240.

Ответ: An2 = 240.


 

Третье слагаемое разложения (2x + 1/x2)m не содержит x. При каких значениях x это слагаемое равно второму слагаемому разложения (1 + x3)30?

__________________________________________

Для начала запишем третье слагаемое первого разложения и найдем m, исходя из того, что степень x должна равняться нулю.

Третий член равен Cm2(2x)m - 2 · (1/x2)2.

Далее работаем лишь с x и его степенью:

xm - 2 · (1/x4) = xm - 6. Степень x равна нулю, а потому m = 6.

Тогда третье слагаемое первого разложения равняется C62(2x)4 · (1/x2)2.

Запишем второй слагаемое второго разложения. Он будет равен C301·x3.

Теперь приравняем их и найдем x:

C301·x3 = C62(2x)4 · (1/x2)2

30x3 = 15·24x4 · (1/x4)

x3 = 8

x = 2.

Ответ: x = 2.



1...2
Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Заслуга введения десятичных дробей принадлежит самаркандскому математику Аль-Каши, а их европейским изобретателем в 1585 году стал голландский инженер Симон Стевин.
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.