Доказать тождество An - 1m = Anm - mAn - 1m - 1.
____________________________________
Используем формулы, получаем:
| (n - 1)! (n - m - 1)! |
= |
n! (n - m)! |
- m |
(n - 1)! (n - m)! |
|
(n - 1)! (n - m - 1)! |
= |
n! - m(n - 1)! (n - m)! |
Умножаем обе части на (n - m)!
(n - m)(n - 1)! = n(n - 1)! - m(n - 1)!
(n - m)(n - 1)! = (n - m)(n - 1)!
0 = 0.
Что и требовалось доказать.
| Определить An2, если пятое слагаемое разложения (3√x + |
1 x |
) n не зависит от x. |
_____________________________________
Для начала найдем n. Пятое слагаемое указанного в условии разложения будет равно Сn4(3√x)(n - 4) · (1/x)4.
Сказано, что данный член разложения не зависит от x. То есть степень x должна равняться 0. Найдем степень x в данном члене разложения:
(3√x)(n - 4) · (1/x)4 = x(n - 4)/3x- 4 = x(n - 16)/3.
Значит (n - 16) / 3 = 0. Откуда n = 16.
Найдя n мы можем легко подсчитать An2.
| A162 = |
16! 14! |
= 16·15 = 240. |
Ответ: An2 = 240.
Третье слагаемое разложения (2x + 1/x2)m не содержит x. При каких значениях x это слагаемое равно второму слагаемому разложения (1 + x3)30?
__________________________________________
Для начала запишем третье слагаемое первого разложения и найдем m, исходя из того, что степень x должна равняться нулю.
Третий член равен Cm2(2x)m - 2 · (1/x2)2.
Далее работаем лишь с x и его степенью:
xm - 2 · (1/x4) = xm - 6. Степень x равна нулю, а потому m = 6.
Тогда третье слагаемое первого разложения равняется C62(2x)4 · (1/x2)2.
Запишем второй слагаемое второго разложения. Он будет равен C301·x3.
Теперь приравняем их и найдем x:
C301·x3 = C62(2x)4 · (1/x2)2
30x3 = 15·24x4 · (1/x4)
x3 = 8
x = 2.
Ответ: x = 2.
