Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения

1. Доказательство от обратного (противного).

Один из часто используемых методах в доказательстве. Его принцип состоит в том, что доказательство суждения (тезиса) осуществляется через опровержение противоречящего ему суждения (антитезиса). Опровержение антитезиса достигается установлением факта того, что он не совместим с каким-то уже заведомо истинным суждением.

Доказательство истинности утверждения A проводится следующим образом. Сначала принимают, что суждение A - ложно. Затем доказывают, что в таком случае, некоторое утверждение B было бы верно (хотя оно заведомо неверно). Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверно (предположение, что А - ложно). А потому утверждение А - истинно по закону двойного отрицания (¬(¬А) равносильно А).


Пример:

Доказать, что sqrt из двух - иррациональное число.

Доказательство: Докажем утверждение от обратного. Допустим число корень из двух - рациональное. Тогда по определению рационального числа, его можно представить в виде несократимой дроби m/n, где mZ, nN.

корень из двух = m/n. Поднесем в квадрат:

3 = m2/n2.

m2 = 3n2.

m2 делится на 3, а значит и m делится на 3. Тогда m2 делится на 9. Раз так, то и n2 делится на 3, а потому и n делится на 3. Получается - что дробь m/n сократима. Мы пришли к противоречию исходного суждения (что число рационально). Потому число корень из двух - иррациональное.


2. Метод математической индукции.

Один из основных методов доказательства. Смысл его состоит в следующем. Допустим у нас есть последовательность утверждений A1, A2, ... , An, An+1, ..., где nN. Все утверждения будут истинными, если:

1) Будет доказана база индукции, т.е. истинность утверждения A1;

2) Будет доказан переход, т.е. для любого n будет доказано, что если утверждение An - верно, то верно и утверждение An+1.


Пример:

Доказать, что если kN, то число k2 - k - четное.

Решение: Решим задачу с помощью метода математической индукции.

Проверим базу индукции - при k = 1, k2 - k = 0 - число четное.

Докажем переход. Допустим при некотором k = n, число n2 - n - четное. Докажем, что k = n+1 число (n + 1)2 - (n + 1) - тоже четное. Но (n + 1)2 - (n + 1) = n2 + 2n + 1 - n - 1 = n2 + n = n2 - n + 2n. Число n2 - n - четное, согласно предположению и 2n - четное. Сумма четных чисел - четная. Переход доказан.

Потому при любом kN число k2 - k - четное.


Существуют и другие вариации метода математической индукции. Например, есть последовательность утверждений B1, B2, ... , Bn, Bn+1, ..., где nN. Все утверждения будут истинными, если:

1) Будет доказана истинность утверждения B1;

2) Для любого n будет доказано, что если утверждения B1, ... , Bn - верны, то верно и утверждение Bn+1.

Это т.н. принцип полной математической индукции.


3. Принцип Дирихле.

Очевидный, простой в понимании, но в то же время, довольно мощный метод решения задач состоит в следующем: если A элементов разбиты на a групп, причем A > a, то хотя в одной группе будет находится более одного элемента (A, aN). Данный принцип, являющийся одной из форм метода от противного, был сформулирован известным немецким математиком Дирихле и зачастую формулируется так: Если в n клетках сидит m зайцев и m > n, то хотя бы в одной клетке сидят более одного зайца.

Главная цель в решении такого рода задач - определение "зайцев" и "клеток" в даной конкретной задаче. Чаще всего - это самый трудный этап в решении, так как выбор не всегда очевиден.

Очень ценным является то, что даный метод дает неконструктивное доказательство (ведь мы точно не можем указать, в какой именно клетке находятся более одного зайца); в отличие от конструктивного, когда нужно идти путем полного построения или явно указывать искомый объект, что зачастую приводит к значительным трудностям и затратам времени.


Пример:

Дано 7 различных натуральных чисел. Доказать, что из них можно выбрать два числа, чтобы их разность делилась на 6.

Доказательство: При делении на 6 существует шесть различных остатков: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Применим принцип Дирихле. В даному случае "клетками" будут остатки, а "зайцами" - числа. Зайцев 7, а чисел 6. Потому как минимум два числа имеют одинаковые остатки.

Пусть эти числа x и y (x, yN)

Тогда x = 6p + r, а y = 6q + r. А значит x - y = 6(p - q).

Что и требовалось доказать.


4. Метод раскраски..

Суть данного метода состоит в следующем. Раскрасив некоторые ключевые элементы, которые фигурируют в задаче в несколько цветов, исследовать, что будет происходить, если выполнять условия задачи. Цвет позволяет значительно упростить понимание процесса, фигурируемого в условии, и зачастую приводит к решению. Этот метод позволяет эффективно решать ряд задач, в частности, игровые и шахматные задачи.


Пример:

Дан квадрат клетчатой бумаги размером 8 x 8, из которого вырезаны две крайние диагональные клетки (верхняя-правая и нижняя-левая). Можно ли полученную фигуру покрыть прямоугольниками размером 1 x 2?

Решение: Раскрасим наш обрезанный квадрат с помощью двух цветов в шахматную расцветку. Заметим, что отрезанные диагональные клетки будут одного цвета. Отметим также, что в нашем раскрашенном квадрате любые соседние две клетки (имеющие общую сторону) будут разного цвета. Это значит, что любой прямоугольник размером 1 x 2, которым мы будем пытаться покрыть обрезанный квадрат будет покрывать клетки обоих цветов. И если мы сможем покрыть обрезанный квадрат прямоугольниками 1 x 2, то будет покрыто одинаковое количество клеток с разными цветами; то есть фигура должна содержать одинаковое количество клеток обоих цветов. Но так как мы отрезали диагональные клетки одного цвета, то их количество в обрезанном квадрате на две меньше. Это означает, что мы не сможем польностью покрыть указанный обрезанный квадрат прямоугольниками 1 x 2.






Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Дайте мне точку опоры - и я переверну Землю!
Архимед
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.