Найти уравнение с целыми коэффициентами, имеющее корень x₀ = √2 + √3.

Ответ: x⁴ - 10x² + 1.

Решение: Ход решения может быть следующим.
Пусть x₀, x₁ - корни уравнения (x - x₀)(x - x₁) = 0, где x₀ = √2 + √3. Преобразовывая уравнение получим:
x² - (x₀ + x₁) + x₀x₁ = 0. Сделаем один из коэффициентов целым, положив x₁ = - √2 - √3. Уравнение примет вид:
x² - (√2 + √3)² = 0.
x² - (5 + 2√6) = 0.
x² - 5 = 2√6. Подносим в квадрат.
x⁴ - 10x² + 25 = 24.
x⁴ - 10x² + 1 = 0.
Подставив √2 + √3, можно убедиться, что данное число является корнем указанного уравнения с целыми коэффициентами.

Доказать, что если a + b + c делится на 6, то a³ + b³ + c³ тоже делится на 6. a, b, c ∈ Z.

Указание: Докажите, что x³ - x делится на 6 при любом x ∈ Z.

Решение: Рассмотрим выражение a³ + b³ + c³ - (a + b + c).
a³ + b³ + c³ - (a + b + c) = a(a² - 1) + b(b² - 1) + c(c² - 1) = a(a - 1)(a + 1) + b(b - 1)(b + 1) + c(c - 1)(c + 1).
x(x - 1)(x + 1) делится как и на 2 (ввиду того, что произведение двух последовательных чисел делится на 2), так и на 3 (ввиду того, что произведение трех последовательных чисел делится на 3), а потому и на 6.
Значит правая часть преобразований делится на 6. По условию a + b + c делится на 6, потому и a³ + b³ + c³ делится на 6.
Что и требовалось доказать.

Доказать, что a² + b² делится на 441, если известно, что оно делится на 21 (a и b ∈ Z).

Указание: Рассмотрите остатки от деления квадрата числа на 21 и определите случай, когда сумма квадратов делится на 21.

Решение: Найдем возможные остатки от деления квадрата целого числа на 21. Это числа 0, 1, 4, 7, 9, 15, 16, 18. Легко заметить, что лишь одна комбинация сумм этих чисел делится на 21 - пара (0,0). Значит, если выражение a² + b² делится на 21, то и каждое из слагаемых делится на 21. Покажем, что если x² делится на 21, то и x делится на 21 (x ∈ Z). Для начала покажем, что оно делится на 3:
Пусть это неверно, т.е. x² = 3m (m ∈ Z), а x = 3n + p (n, p ∈ Z, 1 ≤ p ≤ 2).
Тогда x² = 9n² + 6np + p². Но правая часть равенства не делится на 3, т.к. p² не делится на 3. А значит предположение, что x не делится на 3 ошибочно. x делится на 3. Аналогично доказывается факт того, что x делится на 7, из чего следует, что x делится на 21.
Получим, что a и b делятся на 21, значит a² и b² делятся на 441, а их сумма также делится на 441.
Что и требовалось доказать.

Доказать, что при всех n ∈ N число 3^{2n + 3} + 40n - 27 делится на 64.

Указание: Воспользуйтесь методом математической индукции.

Ответ: Докажем с помощью метода математической индукции. Проверим базу индукции. При n = 1 выражение принимает вид 3⁵ + 40 - 27 = 256. Это число делится на 64, то есть база индукции верна.
Переход индукции. Допустим при неком n = k предположение верно. Т.е. 3^{2k + 3} + 40k - 27 делится на 64. Покажем, что при n = k + 1, утверждение также верно.
3^{2(k + 1) + 3} + 40(k + 1) - 27 = 3^{2k + 3 + 2} + 40k - 27 + 40 = 3^{2k + 3} + 40k - 27 + 8·3^{2k + 3} + 40. Так как, согласно переходу, 3^{2k + 3} + 40k - 27 делится на 64, нужно показать, что 8·3^{2k + 3} + 40 делится на 64.
8·3^{2k + 3} + 40 = 8(3^{2k + 3} + 5) = 8(3·3^{2k + 2} - 3 + 8) = 64 + 8·3(9^{k + 1} - 1)^(*).
Но так как 9 ≡ 1 (mod 8), то 9^{k + 1} ≡ 1 (mod 8), из чего 9^{k + 1} - 1 делится на 8, а значит все выражение ^(*) на 64. Переход доказан. А значит при любом n ∈ N число 3^{2n + 3} + 40n - 27 делится на 64.
Что и требовалось доказать.

В вершинах шестиугольника ABCDEF записаны числа 2, 7, 9, 10, 3, 12 соответственно указанному порядку букв. За шаг позволяется к двум соседним вершинам добавить или вычесть одно и то же целое число. Можно ли за некоторое количество шагов из указанной шестерки чисел получить следующую шестерку: 5, 11, 6, 15, 8, 14, сохранив порядок соотвествия чисел вершинам.

Указание: Воспользуйтесь методом раскрасок, покрасив вершины шестиугольника в два цвета - через одну.

Ответ: Нельзя. Покрасим вершины шестиугольника в два цвета - через одну. Рассмотрим суммы S₁ - сумма чисел в белых вершинах (например, это вершины A, C, E) и S₂ - сумма чисел в черных вершинах (это вершины B, D, F). Заметим, что после каждого шага, на одно и то же число изменяются вершины обоих цветов, а значит разница S₂ - S₁ остается той же. Но в исходной ситуации это значение равно 15, а в искомой - 21. Потому с помощью таких действий шестерку чисел 5, 11, 6, 15, 8, 14 получить нельзя.

В каждой клетке доски размером 9 x 9 сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние клетки по диагонали. Доказать, что при этом не менее девяти клеток окажутся пустыми.

Указание: Используйте метод раскраски. Покрасьте вертикальные столбцы квадрата в два цвета через один.

Решение: Воспользуемся методом раскраски. Покрасим квадрат следующим образом:
     
Переползая на соседнюю клетку, жук становится на клетку другого цвета. Так как черных клеток 45, а белых 36, то после переползания как минимум 9 черных клеток останутся свободными.
Что и требовалось доказать.