Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения
1 2...3...4 

Найти уравнение с целыми коэффициентами, имеющее корень x0 = 2 + 3.

Ответ: x4 - 10x2 + 1.

Решение: Ход решения может быть следующим.
Пусть x0, x1 - корни уравнения (x - x0)(x - x1) = 0, где x0 = 2 + 3. Преобразовывая уравнение получим:
x2 - (x0 + x1) + x0x1 = 0. Сделаем один из коэффициентов целым, положив x1 = - 2 - 3. Уравнение примет вид:
x2 - (2 + 3)2 = 0.
x2 - (5 + 26) = 0.
x2 - 5 = 26. Подносим в квадрат.
x4 - 10x2 + 25 = 24.
x4 - 10x2 + 1 = 0.
Подставив 2 + 3, можно убедиться, что данное число является корнем указанного уравнения с целыми коэффициентами.


 

Доказать, что если a + b + c делится на 6, то a3 + b3 + c3 тоже делится на 6. a, b, cZ.

Указание: Докажите, что x3 - x делится на 6 при любом xZ.

Решение: Рассмотрим выражение a3 + b3 + c3 - (a + b + c).
a3 + b3 + c3 - (a + b + c) = a(a2 - 1) + b(b2 - 1) + c(c2 - 1) = a(a - 1)(a + 1) + b(b - 1)(b + 1) + c(c - 1)(c + 1).
x(x - 1)(x + 1) делится как и на 2 (ввиду того, что произведение двух последовательных чисел делится на 2), так и на 3 (ввиду того, что произведение трех последовательных чисел делится на 3), а потому и на 6.
Значит правая часть преобразований делится на 6. По условию a + b + c делится на 6, потому и a3 + b3 + c3 делится на 6.
Что и требовалось доказать.


 

Доказать, что a2 + b2 делится на 441, если известно, что оно делится на 21 (a и bZ).

Указание: Рассмотрите остатки от деления квадрата числа на 21 и определите случай, когда сумма квадратов делится на 21.

Решение: Найдем возможные остатки от деления квадрата целого числа на 21. Это числа 0, 1, 4, 7, 9, 15, 16, 18. Легко заметить, что лишь одна комбинация сумм этих чисел делится на 21 - пара (0,0). Значит, если выражение a2 + b2 делится на 21, то и каждое из слагаемых делится на 21. Покажем, что если x2 делится на 21, то и x делится на 21 (xZ). Для начала покажем, что оно делится на 3:
Пусть это неверно, т.е. x2 = 3m (mZ), а x = 3n + p (n, pZ, 1 ≤ p ≤ 2).
Тогда x2 = 9n2 + 6np + p2. Но правая часть равенства не делится на 3, т.к. p2 не делится на 3. А значит предположение, что x не делится на 3 ошибочно. x делится на 3. Аналогично доказывается факт того, что x делится на 7, из чего следует, что x делится на 21.
Получим, что a и b делятся на 21, значит a2 и b2 делятся на 441, а их сумма также делится на 441.
Что и требовалось доказать.


 

Доказать, что при всех nN число 32n + 3 + 40n - 27 делится на 64.

Указание: Воспользуйтесь методом математической индукции.

Ответ: Докажем с помощью метода математической индукции. Проверим базу индукции. При n = 1 выражение принимает вид 35 + 40 - 27 = 256. Это число делится на 64, то есть база индукции верна.
Переход индукции. Допустим при неком n = k предположение верно. Т.е. 32k + 3 + 40k - 27 делится на 64. Покажем, что при n = k + 1, утверждение также верно.
32(k + 1) + 3 + 40(k + 1) - 27 = 32k + 3 + 2 + 40k - 27 + 40 = 32k + 3 + 40k - 27 + 8·32k + 3 + 40. Так как, согласно переходу, 32k + 3 + 40k - 27 делится на 64, нужно показать, что 8·32k + 3 + 40 делится на 64.
8·32k + 3 + 40 = 8(32k + 3 + 5) = 8(3·32k + 2 - 3 + 8) = 64 + 8·3(9k + 1 - 1)(*).
Но так как 9 ≡ 1 (mod 8), то 9k + 1 ≡ 1 (mod 8), из чего 9k + 1 - 1 делится на 8, а значит все выражение (*) на 64. Переход доказан. А значит при любом nN число 32n + 3 + 40n - 27 делится на 64.
Что и требовалось доказать.


 

В вершинах шестиугольника ABCDEF записаны числа 2, 7, 9, 10, 3, 12 соответственно указанному порядку букв. За шаг позволяется к двум соседним вершинам добавить или вычесть одно и то же целое число. Можно ли за некоторое количество шагов из указанной шестерки чисел получить следующую шестерку: 5, 11, 6, 15, 8, 14, сохранив порядок соотвествия чисел вершинам.

Указание: Воспользуйтесь методом раскрасок, покрасив вершины шестиугольника в два цвета - через одну.

Ответ: Нельзя. Покрасим вершины шестиугольника в два цвета - через одну. Рассмотрим суммы S1 - сумма чисел в белых вершинах (например, это вершины A, C, E) и S2 - сумма чисел в черных вершинах (это вершины B, D, F). Заметим, что после каждого шага, на одно и то же число изменяются вершины обоих цветов, а значит разница S2 - S1 остается той же. Но в исходной ситуации это значение равно 15, а в искомой - 21. Потому с помощью таких действий шестерку чисел 5, 11, 6, 15, 8, 14 получить нельзя.


 

В каждой клетке доски размером 9 x 9 сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние клетки по диагонали. Доказать, что при этом не менее девяти клеток окажутся пустыми.

Указание: Используйте метод раскраски. Покрасьте вертикальные столбцы квадрата в два цвета через один.

Решение: Воспользуемся методом раскраски. Покрасим квадрат следующим образом:
     
Переползая на соседнюю клетку, жук становится на клетку другого цвета. Так как черных клеток 45, а белых 36, то после переползания как минимум 9 черных клеток останутся свободными.
Что и требовалось доказать.



1 2...3...4 
Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Математика – царица наук, арифметика – царица математики.
Карл Фридрих Гаусс
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.