Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения
1 2 3...4

Мышь грызет кусочек сыра в форме куба с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков. Когда она съедает какой-то кубик, то переходит к следующему, который имеет общую грань с предыдущим. Может ли мышь скушать весь кусок сыра, кроме центрального единичного кубика?

Указание: Используйте метод раскрасок, а именно следующий способ:

Решение: Воспользуемся способом раскраски и поскрасим единичные кубики в два цвета через один, следующим образом:

У нас 27 кубиков. Чтобы скушать все кубики сыра, кроме центрального, придется съесть 26 кусочков. Причем, половину будет белого цвета, половина - черного (так как мышь ест соседние кубики, которые имеют разный цвет). Но это невозможно, т.к. с другой стороны, у нас всего 15 белых кубиков и 14 черных (благодаря раскраске). И если мышь не будет кушать центральный, то будет съедено 15 белых и 13 черных, так как центральный кубик - черного цвета.


 

Дно прямоугольной коробки было выложено прямоугольными плитками 2 x 2 и 1 x 4. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли плитку размером 2 x 2. Вместо нее нашли плитку размером 1 x 4. Можно ли при этом выложить дно коробки?

Указание: Используйте метод раскраски следующим образом:

Ответ: Нет, нельзя. Используя метод раскраски, раскрасим дно коробки следующим образом:

Плитка 2 x 2 покрывает лишь одну черную клетку. Плитка 1 x 4 покрывает или две и ни одну черную. То есть четность покрытых черных клеток совпадает с четностью количества плиток размером 2 x 2. Потому при потере плитки 2 x 2 останется лишь одна незакрашенная черная клетка. Замена невозможна.


 

На клетчатой бумаге даны произвольные n клеток (n > 4). Докажите, что из них можно выбрать не менее [n/4] клеток, не имеющих общих точек.

Указание: Воспользуйтесь методом раскраски следующим образом (используя четыре цвета):

Ответ: Воспользуемся методом раскрасок и покрасим клетки в четыре цвета следующим образом:

Тогда, по принципу Дирихле, среди n клеток, можно выбрать [n/4] клеток одного цвета. А так как клетки одного цвета не имеют общих точек, то утверждение доказано.



1 2 3...4
Поиск по сайту
Перевод на другие языки
В 1897 г. Генеральная Ассамблея американского штата Индиана утвердила билль 246, согласно которому число π принималось равным 4.
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.