Доказать, что уравнение x3 - px + 1 = 0 не имеет рациональных корней при p ∈ Z, p > 2.
___________________________________________________________________________
Докажем сначала, что даное уравнение не имеет целых корней.
Докажем от обратного.
Пусть существует некое x1 ∈ Z, так что x13 - px1 + 1 = 0, при p ∈ Z, p > 2.
Тогда x1(x12 - p) = -1.
Единственные решения в целых числах следующие:
x1 = 1, (x12 - p) = -1; Но тогда 1 - p = -1, откуда p = 2, что противоречит условию.
x1 = -1, (x12 - p) = 1; Тогда 1 - p = 1, p = 0, что опять же противоречит условию.
Значит целых решений нет. Покажем, что и дробных рациональных решений не существует при данном условии.
Снова докажем от обратного. Пусть существует некое x1 ∈ Q \ Z, такое что x13 - px1 + 1 = 0, при p ∈ Z, p > 2.
В таком случае, по определению x1 можно представить в виде несократимой дроби m/n, m ∈ N, n ∈ Z. Отметим также, что если дробь m/n - несократима, то и дробь m3/n2 - несократима. Тогда уравнение будет иметь следующий вид:
(m/n)3 - p(m/n) + 1 = 0.
m3/n2 = pm - n.
Но справа у нас целое число, а значит и слева число целое. А это противоречит нашему предположению, что дробь m3/n2 - несократима.
Значит уравнение не имеет рациональных решений.
Что и требовалось доказать.