Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения
1...2

Доказать, что уравнение x3 - px + 1 = 0 не имеет рациональных корней при pZ, p > 2.

___________________________________________________________________________

Докажем сначала, что даное уравнение не имеет целых корней.

Докажем от обратного.

Пусть существует некое x1Z, так что x13 - px1 + 1 = 0, при pZ, p > 2.

Тогда x1(x12 - p) = -1.

Единственные решения в целых числах следующие:

x1 = 1, (x12 - p) = -1; Но тогда 1 - p = -1, откуда p = 2, что противоречит условию.

x1 = -1, (x12 - p) = 1; Тогда 1 - p = 1, p = 0, что опять же противоречит условию.

Значит целых решений нет. Покажем, что и дробных рациональных решений не существует при данном условии.

Снова докажем от обратного. Пусть существует некое x1Q \ Z, такое что x13 - px1 + 1 = 0, при pZ, p > 2.

В таком случае, по определению x1 можно представить в виде несократимой дроби m/n, mN, nZ. Отметим также, что если дробь m/n - несократима, то и дробь m3/n2 - несократима. Тогда уравнение будет иметь следующий вид:

(m/n)3 - p(m/n) + 1 = 0.

m3/n2 = pm - n.

Но справа у нас целое число, а значит и слева число целое. А это противоречит нашему предположению, что дробь m3/n2 - несократима.

Значит уравнение не имеет рациональных решений.

Что и требовалось доказать.


 

В каждой клетке доски 7x7 сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонатале или вертикале) клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?

____________________________________________________________________________

Воспользуемся методом раскрасок. Покрасим доску в два цвета с помощью шахматной расцветки:

Переползая на соседнюю клетку, жук становится на клетку другого цвета. Но у нас 24 белых и 25 черных клеток. А, значит, как минимум одна черная клетка будет пустой.

Ответ: Да, обязательно будет одна пустая клетка.



1...2
Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!
Дьёрдь Пойя
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.