Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения
1...2...3 

Известно, что L, M, N - соотвественно l-й, m-й, n-й члены геометрической прогрессии. Доказать, что L m-nM n-lN l-m = 1.

____________________________________________________________________________

Выразим L, M, N через первый член геометрической прогрессии A и знаменатель q:

L = Aql - 1.

M = Aqm - 1.

N = Aqn - 1.

Тогда L m-nM n-lN l-m =

= Amq(l - 1) m / Anq(l - 1) n · Anq(m - 1) n / Alq(m - 1) l · Alq(n - 1) l / Amq(n - 1) m =

qlm / qln · qmn / qml · qnl / qnm = 1.

Что и требовалось доказать.


 

Три числа, третье из которых равно 12, составляют геометрическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то эти три числа будут составлять арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

____________________________________________________________________________

Согласно условию, запишем первые два числа как a и aq. Т.к. эти два числа и 12 составляют геометрическую прогрессию, то a2q2 = 12a.

Откуда a = 12 / q2.

Т.к. числа a, aq, 9 составляют арифметическую прогрессию, то 2aq = a + 9.

Или a(2q - 1) = 9.

Подставляем a из предыдущего суждения и получаем:

12(2q - 1) = 9q2.

3q2 - 8q + 4 = 0.

Решения данного квадратного уравнения q1 = 2, q2 = 2/3.

Зная знаменатель находим тройки чисел. При q = 2 это числа 3, 6, 12. При q = 2/3 это числа 27, 18, 12.

Ответ: 3, 6, 12 и 27, 18, 12.


 

Сумма третьего и девятого члена члена арифметической прогрессии равна 8. Найти сумму 11 первых членов этой прогрессии.

____________________________________________________________________________

Согласно свойствам арифметической прогрессии a3 + a9 = a1 + a11 = 8.

По формуле суммы S11 = (a1 + a11) · 11 / 2 = (a3 + a9) · 11 / 2 = 44.

Ответ: S11 = 44.


 

Известно, что некоторая арифметическая прогрессия содержит члены a2n и a2m такие, что имеет место следующее соотношение a2n /a2m = -1. Существует ли член этой прогрессии, который равен нулю? Есть существует, какой номер этого члена?

____________________________________________________________________________

Исходя из условия получаем:

a2n + a2m = 0;

Используя формулу, выражающий некий член прогрессии через первый член и разность, получаем:

a1 + (2n - 1)d + a1 + (2m - 1)d = 0;

2a1 + 2nd + 2md - 2d = 0;

a1 + (n + m - 1)d = 0.

А это и означает, что существует член арифметической прогрессии с первым элементом a1 и разностью d, который равен нулю. Т.е., используя ту же формулу, имеем an + m = 0.

Ответ: Существует, его номер n + m.



1...2...3 
Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Самым большим имеющим название недесятичным числом является буддистское число асанкхейя, равное 10140; оно упоминается в трудах Джайна-сутры, относящееся к 100 г. до н.э.
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.