Множество рациональных уравнений за типом и методом решения можно разделить на следующие:

1. Решение с помощью подстановки. При решении некоторых рациональных уравнений имеет смысл ввести новую переменную, заменив ею некое рациональное выражение. Например, в уравнении aP²(x) + bP(x) + c = 0, где P(x) - многочлен, введем новую переменную y = P(x). Решаем квадратное уравнение ay² + by + c = 0 ^(*) относительно y и возвращаемся к решению уравнений P(x) = y_i, где y_i - решения уравнения ^(*).

2. Распадающееся уравнение. Рациональное уравнение называется распадающимся, если его можно представить в виде P(x)Q(x) = 0, где P(x) и Q(x) - целые рациональные функции. Для решения таких уравнений нужно представить уравнение P(x)Q(x) = 0 в виде совокупности:

3. Однородное уравнение второго порядка aP²(x) + bP(x)Q(x) + cQ²(x) = 0. Для его решения рассмотрим два случая. Первый - Q(x) = 0, тогда уравнение сводится к решению уравнения P(x) = 0. Второй случай - Q(x) ≠ 0, тогда исходное уравнение можно поделить на Q²(x) и получить a(P(x)/Q(x))² + bP(x)/Q(x) + c = 0. Вводим замену P(x)/Q(x) = t и получаем квадратное уравнение at² + bt + c = 0. В ответ включаем решения обоих случаев.

4. Биквадратное уравнение ax⁴ + bx² + c = 0. Для решения такого уравнения делается замена x² = t, x⁴ = t². После подстановки новой переменной получаем квадратное уравнение at² + bt + c = 0 ^(*). Решив его приходим к уравнению x² = t_i, где t_i - корни уравнения ^(*).

5. Симметричное уравнение третьего порядка ax³ + bx² + bx + a = 0. Для его решения проведем следующие преобразования: ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1)(x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1)(ax² + (b - a)x + a). В итоге получаем распадающееся уравнение, решаем совокупность:

6. Симметрическое уравнение четвертого порядка ax⁴ + bx³ + сx² + bx + a = 0. Сгруппируем слагаемые и разделим обе части на x². Получим

a(x² + 1/x²) + b(x + 1/x) с = 0.

Сделаем подстановку x + 1/x = t, тогда x² + 1/x² = t² - 2. Получаем квадратное уравнение at² + bt + (c - 2a) = 0. После его решения возвращаемся к исходной переменной x.

7. Возвратное уравнение. Уравнение вида ax⁴ + bx³ + сx² + dx + e = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0 и e/a = (d/b)², называется возвратным уравнением четвертого порядка. Для его решения делим уравнение на x² и вводим переменную t = bx + d/x, после чего получаем квадратное уравнение at²/b² + t + с - 2ad/b = 0. Решив его, возвращаемся к исходной переменной.

8. Уравнения вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, где a + b = c + d. В даном случае вводим новую переменную t = x² + (a + b)x и получаем квадратное уравнение (t + ab)(t + cd) = m. Решив его, возвращаемся к исходной переменной.

9. Уравнение вида P(x)/Q(x) = 0. Решаем уравнение P(x) = 0. Проверяем, чему равно значение Q(x_i), где x_i - корни уравнения P(x) = 0. Если Q(x_i) ≠ 0, значит они являются решением исходного уравнения. Если Q(x_i) = 0 - корень выпадает из области определения исходного уравнения и его нужно исключить из ответа.

10. Уравнение вида aP(x)/Q(x) + bQ(x)/P(x) + c = 0. Вводим новую переменную t = P(x)/Q(x) и получаем следующее уравнение: at + b/t + c = 0. Или после домножения на t (t ≠ 0) получаем квадратное уравнение at² + ct + b = 0. Решив его, возвращаемся к исходной переменной.

11. Уравнение состоящее из суммы дробей. Один из методов состоит в том, что нужно перенести все члены уравнения в одну часть и свести уравнение к виду P(x)/Q(x) = 0.