Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения

Множество рациональных уравнений за типом и методом решения можно разделить на следующие:

1. Решение с помощью подстановки. При решении некоторых рациональных уравнений имеет смысл ввести новую переменную, заменив ею некое рациональное выражение. Например, в уравнении aP2(x) + bP(x) + c = 0, где P(x) - многочлен, введем новую переменную y = P(x). Решаем квадратное уравнение ay2 + by + c = 0 (*) относительно y и возвращаемся к решению уравнений P(x) = yi, где yi - решения уравнения (*).

2. Распадающееся уравнение. Рациональное уравнение называется распадающимся, если его можно представить в виде P(x)Q(x) = 0, где P(x) и Q(x) - целые рациональные функции. Для решения таких уравнений нужно представить уравнение P(x)Q(x) = 0 в виде совокупности:

3. Однородное уравнение второго порядка aP2(x) + bP(x)Q(x) + cQ2(x) = 0. Для его решения рассмотрим два случая. Первый - Q(x) = 0, тогда уравнение сводится к решению уравнения P(x) = 0. Второй случай - Q(x) ≠ 0, тогда исходное уравнение можно поделить на Q2(x) и получить a(P(x)/Q(x))2 + bP(x)/Q(x) + c = 0. Вводим замену P(x)/Q(x) = t и получаем квадратное уравнение at2 + bt + c = 0. В ответ включаем решения обоих случаев.

4. Биквадратное уравнение ax4 + bx2 + c = 0. Для решения такого уравнения делается замена x2 = t, x4 = t2. После подстановки новой переменной получаем квадратное уравнение at2 + bt + c = 0 (*). Решив его приходим к уравнению x2 = ti, где ti - корни уравнения (*).

5. Симметричное уравнение третьего порядка ax3 + bx2 + bx + a = 0. Для его решения проведем следующие преобразования: ax3 + bx2 + bx + a = a(x3 + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1)(x2 - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1)(ax2 + (b - a)x + a). В итоге получаем распадающееся уравнение, решаем совокупность:

6. Симметрическое уравнение четвертого порядка ax4 + bx3 + сx2 + bx + a = 0. Сгруппируем слагаемые и разделим обе части на x2. Получим

a(x2 + 1/x2) + b(x + 1/x) с = 0.

Сделаем подстановку x + 1/x = t, тогда x2 + 1/x2 = t2 - 2. Получаем квадратное уравнение at2 + bt + (c - 2a) = 0. После его решения возвращаемся к исходной переменной x.

7. Возвратное уравнение. Уравнение вида ax4 + bx3 + сx2 + dx + e = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0 и e/a = (d/b)2, называется возвратным уравнением четвертого порядка. Для его решения делим уравнение на x2 и вводим переменную t = bx + d/x, после чего получаем квадратное уравнение at2/b2 + t + с - 2ad/b = 0. Решив его, возвращаемся к исходной переменной.

8. Уравнения вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, где a + b = c + d. В даном случае вводим новую переменную t = x2 + (a + b)x и получаем квадратное уравнение (t + ab)(t + cd) = m. Решив его, возвращаемся к исходной переменной.

9. Уравнение вида P(x)/Q(x) = 0. Решаем уравнение P(x) = 0. Проверяем, чему равно значение Q(xi), где xi - корни уравнения P(x) = 0. Если Q(xi) ≠ 0, значит они являются решением исходного уравнения. Если Q(xi) = 0 - корень выпадает из области определения исходного уравнения и его нужно исключить из ответа.

10. Уравнение вида aP(x)/Q(x) + bQ(x)/P(x) + c = 0. Вводим новую переменную t = P(x)/Q(x) и получаем следующее уравнение: at + b/t + c = 0. Или после домножения на t (t ≠ 0) получаем квадратное уравнение at2 + ct + b = 0. Решив его, возвращаемся к исходной переменной.

11. Уравнение состоящее из суммы дробей. Один из методов состоит в том, что нужно перенести все члены уравнения в одну часть и свести уравнение к виду P(x)/Q(x) = 0.



Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Люди племени намбиквара, живущие на северо-западе штата Мату-Гросу, Бразилия, самые неграмотные в математике. У них полностью отсутствует система чисел. Правда, они пользуются глаголом, который означаем "они равны".
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.