Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения
1 2 3...4

Упростить выражение x + 2x - 1 + x - 2x - 1 , при 1 ≤ x ≤ 2.

_______________________________________________________

Попробуем выделить под корнями полные квадраты и решать как в случае с числовыми значениями:

x + 2x - 1 + x - 2x - 1 = x - 1 + 2x - 1 + 1 + x - 1 - 2x - 1 + 1 =
(x - 1 + 1)2 + (x - 1 - 1)2 = |√x - 1 + 1| + |√x - 1 - 1|.

Первое слагаемое всегда положительное, потому модуль отрывается со знаком "+". А поскольку, по условию 1 ≤ x ≤ 2, то x - 1 ≤ 1, то второй модуль открываем со знаком "-".

|√x - 1 + 1| + |√x - 1 - 1| = √x - 1 + 1 + 1 - √x - 1 = 2.

Ответ: 2.


 

Упростить выражение 2x + 2x2 - y2 , при xy > 0.

_____________________________________________

Попробуем выделить полный квадрат:

2x + 2x2 - y2 = x + y + 2x2 - y2 + x - y = (√x + y + √x - y)2 =
x + y + √x - y

Ответ: √x + y + √x - y.


 

Упростить выражение 10x + 225x2 - y2 - 10x - 225x2 - y2.

____________________________________________________

Выделим полные квадраты в каждом из квадратных корней:

10x + 225x2 - y2 - 10x - 225x2 - y2 =
5x + y + 225x2 - y2 + 5x - y - 5x + y - 225x2 - y2 + 5x - y =
(√5x + y + √5x - y)2 - (√5x + y - √5x - y)2 = |√5x + y + √5x - y| - |√5x + y - √5x - y|.

Значение под первым модулем всегда положительное, потому его открываем со знаком "+". Исследуем знак второго подмодульного выражения. Отметим, что 5x + y ≥ 0; 5x - y ≥ 0;

5x + y ≥ √5x - y когда 5x + y ≥ 5x - y, то есть когда y ≥ 0.

Аналогично √5x + y < √5x - y, когда y < 0.

Потому, если y ≥ 0 второй модуль открываем со знаком "+":

|√5x + y + √5x - y| - |√5x + y - √5x - y| = √5x + y + √5x - y - √5x + y + √5x - y = 2√5x - y.

Если y < 0, второй модуль открываем со знаком "-":

|√5x + y + √5x - y| - |√5x + y - √5x - y| = √5x + y + √5x - y + √5x + y - √5x - y = 2√5x + y.

Ответ: Если y ≥ 0, то 2√5x - y; если y < 0, то 2√5x + y.



1 2 3...4
Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Леонард Эйлер (Швейцария, Россия) (1707 - 1783) был настолько плодовит, что и через 50 с лишним лет после его смерти его труды все еще печатались впервые.
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.