Исследовать на монотонность последовательность (an) = 5n2 - 2.
_______________________________________________________
Для решения сравним между собой два подряд идущих элемента последовательности ak и ak+1. Ввиду того, что мы не знаем как соотносятся эти два числа, будем вместо знака сравнения использовать (?):
5k2 - 2 (?) 5(k + 1)2 - 2;
5k2 - 2 (?) 5(k2 + 2k + 1) - 2;
5k2 - 2 (?) 5k2 + 10k +3;
0 (?) 10k + 5;
Ввиду того, что k ≥ 1, то указанное выше выражение больше 0 для любых k. Значит ak+1 > ak для любых k, потому последовательность возрастает, а, значит, является монотонной.
Ответ: Последовательность возрастает, потому является монотонной.
Исследовать на монотонность последовательность (an) = n2 + 3n + 2.
___________________________________________________________
Отметим, что n2 + 3n + 2 = (n + 1)(n + 2). Сравним между собой элементы ak, ak+1 данной последовательности:
(k + 1)(k + 2) (?) (k + 2)(k + 3);
0 (?) (k + 2)(k + 3) - (k + 1)(k + 2);
0 (?) 2(k + 2);
0 (?) k + 2.
Видим, что ak+1 ≥ ak при k ≥ -2 (а значит и при натуральных значениях) - последовательность возрастающая, потому и монотонна.
Ответ: Последовательность возрастает, потому является монотонной.
Исследовать на монотонность последовательность (an) = n2 - 11n + 30.
____________________________________________________________
Отметим, что n2 - 11n + 30 = (n - 5)(n - 6). Теперь сравним подряд идущие элементы последовательности ak и ak+1:
(k - 5)(k - 6) (?) (k - 4)(k - 5);
0 (?) (k - 4)(k - 5) - (k - 5)(k - 6);
0 (?) 2(k - 5);
5 (?) k.
ak+1 ≥ ak при k ≥ 5, но ak+1 < ak при k < 5. Потому последовательность не является монотонной.
Ответ: Последовательность не монотонна.