Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения

Исследовать на монотонность последовательность (an) = 5n2 - 2.

_______________________________________________________

Для решения сравним между собой два подряд идущих элемента последовательности ak и ak+1. Ввиду того, что мы не знаем как соотносятся эти два числа, будем вместо знака сравнения использовать (?):

5k2 - 2 (?) 5(k + 1)2 - 2;

5k2 - 2 (?) 5(k2 + 2k + 1) - 2;

5k2 - 2 (?) 5k2 + 10k +3;

0 (?) 10k + 5;

Ввиду того, что k ≥ 1, то указанное выше выражение больше 0 для любых k. Значит ak+1 > ak для любых k, потому последовательность возрастает, а, значит, является монотонной.

Ответ: Последовательность возрастает, потому является монотонной.


 

Исследовать на монотонность последовательность (an) = n2 + 3n + 2.

___________________________________________________________

Отметим, что n2 + 3n + 2 = (n + 1)(n + 2). Сравним между собой элементы ak, ak+1 данной последовательности:

(k + 1)(k + 2) (?) (k + 2)(k + 3);

0 (?) (k + 2)(k + 3) - (k + 1)(k + 2);

0 (?) 2(k + 2);

0 (?) k + 2.

Видим, что ak+1ak при k ≥ -2 (а значит и при натуральных значениях) - последовательность возрастающая, потому и монотонна.

Ответ: Последовательность возрастает, потому является монотонной.


 

Исследовать на монотонность последовательность (an) = n2 - 11n + 30.

____________________________________________________________

Отметим, что n2 - 11n + 30 = (n - 5)(n - 6). Теперь сравним подряд идущие элементы последовательности ak и ak+1:

(k - 5)(k - 6) (?) (k - 4)(k - 5);

0 (?) (k - 4)(k - 5) - (k - 5)(k - 6);

0 (?) 2(k - 5);

5 (?) k.

ak+1ak при k ≥ 5, но ak+1 < ak при k < 5. Потому последовательность не является монотонной.

Ответ: Последовательность не монотонна.



Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Чтобы увидеть ответ или указание в подразделе "Задачи без решений" достаточно либо навести мышку на ответ или указание (в случае использования браузера Opera, Firefox, IE 7 и выше), либо нажать на соответствующую кнопку (при использовании IE 6 и ниже).
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.