Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения
1...2...3 4 5 

Решить уравнение cos(cosx) = 1.

___________________________

Используем методом решения и получаем:

cosx = ±arccos1 + 2πn = 2πn (nZ).

Так как при целом n выражение |2πn| ≤ 1 лишь в том случае, когда n = 0, то это единственное значение n, при котором имеет смысл верхнее неравенство. Тогда

cosx = 0, откуда

x = ±π/2 + 2πk, kZ

Ответ: x = ±π/2 + 2πk.


 

Решить уравнение cos2x - 3sinx = 2.

_________________________________

Воспользуемся формулой удвоенного угла косинуса (cos2a = 1 - 2sin2a) и получим:

1 - 2sin2x - 3sinx = 2.

Воспользуемся методом замены, обозначим sinx = y. Уравнение примет вид:

2y2 + 3y + 1 = 0.

Находим его корни: y1 = -1, y2 = -1/2.

Возвращаемся к исходной переменной и получаем совокупность sinx = -1 и sinx = -1/2.

Из первого получаем решение - x = -π/2 + 2πn, из второго - x = (-1)m(-π/6) + πm (m, nZ).

Ответ: x = -π/2 + 2πn или x = (-1)m(-π/6) + πm.


 

Решить уравнение 2tgx - 3ctgx = 1.

______________________________

Так как ctgx = 1/tgx при x ≠ πn/2 (nZ) получаем уравнение

2tgx - 3/tgx = 1 или 2tg2x - tgx - 3 = 0.

Вводим новую переменную tgx = y и решаем квадратное уравнение 2y2 - y - 3 = 0 относительно y.

Оно имеет два решения y1 = 3/2, y2 = -1.

Возвращаемся к исходной переменной и решаем два уравнения:

tgx = 3/2, откуда x = arctg(3/2) + πn, nZ.

tgx = -1, откуда x = arctg(-1) + πm = -π/4 + πm, mZ.

Ответ: x = arctg(3/2) + πn или x = -π/4 + πm.


 

Решить уравнение 3cosx - sin2x = 1 - sin3x.

_____________________________________

Сделаем следующее преобразование 3(cosx + sinx) = 1 + sin2x.

Замена cosx + sinx = t приведет к уравнению 3t = t2. Оно имеет корни t1 = 0, t2 = 3.

Берем первый корень, возвращаем замену и получаем cosx + sinx = 0, делим на cosx ≠ 0, откуда tgx = -1, x = -π/4 + πn (nZ).

Второй корень t2 дает уравнение cosx + sinx = 3. Это уравнение не имеет решений, т.к. и cosx, и cosx меньше равны 1, в сумме меньше равны 2.

Ответ: x = -π/4 + πn.



1...2...3 4 5 
Поиск по сайту
Перевод на другие языки
...Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение.
Вениамин Федорович Каган
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.