Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения
1 2...3...4 5 

Решить уравнение sin5x cos3x = sin9x cos7x.

______________________________________

Используем формулу произведения синуса и косинуса:

1/2(sin8x + sin2x) = 1/2(sin16x + sin2x);

sin8x = sin16x;

sin16x - sin8x = 0, теперь используем формулу разницы синусов:

2cos12x sin4x = 0.

Откуда cos12x = 0 или sin4x = 0.

Из первого cos12x = 0, 12x = π/2 + πn, x = (1 + 2n)π/24 (nZ).

Из второго sin4x = 0, 4x = πm, x = πm/4 (mZ).

Ответ: x = (1 + 2n)π/24 или x = πm/4.


 

Решить уравнение cos2x + cos4x + cos6x = 0.

_____________________________________

Проделаем следующие преобразования

(cos2x + cos6x) + cos4x = 0;

2cos4xcos2x + cos4x = 0;

cos4x(2cos2x + 1) = 0.

Имеем два случая:

cos4x = 0, откуда 4x = π/2 + πn, x = π/8 + πn/4 (nZ).

2cos2x + 1 = 0 или cos2x = -1/2, откуда 2x = ±2π/3 + 2πm, x = ±π/3 + πm (mZ).

Ответ: x = π/8 + πn/4 или x = ±π/3 + πm.


 

Решить уравнение cos5x = cos2x.

___________________________

Переносим в одну сторону и применяем формулу разницы косинусов:

-2sin(7x/2)sin(3x/2) = 0;

sin(7x/2)sin(3x/2) = 0;

Откуда либо sin(7x/2) = 0, либо sin(3x/2) = 0.

Из первого: 7x/2 = πn или x = 2πn/7 (nZ).

Из второго: 3x/2 = πn или x = 2πm/3 (mZ).

Ответ: x = 2πn/7 или x = 2πm/3.


 

Решить уравнение sin3x - 2cos2xsinx = 0.

_________________________________

Для начала отметим, что можно вынести sinx за скобки:

sinx(sin2x - 2cos2x) = 0.

Уравнение распадается на два случая:

sinx = 0, откуда x = πn (nZ).

sin2x - 2cos2x = 0. Заметим, что данное уравнение однородное. Делим его на cos2x ≠ 0 и получаем:

tg2x - 2 = 0;

tg2x = 2;

tgx = ±2;

x = ±arctg2 + πm.

Ответ: x = πn или x = ±arctg2 + πm.



1 2...3...4 5 
Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Самым большим имеющим название недесятичным числом является буддистское число асанкхейя, равное 10140; оно упоминается в трудах Джайна-сутры, относящееся к 100 г. до н.э.
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.