Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения
1 2 3 4...5

Решить уравнение sin3x cos8x = 1.

_______________________________

Используем формулу произведения синуса и косинуса:

(sin(3x + 8x) + sin(3x - 8x))/2 = 1;

sin11x - sin5x = 2.

Отметим, что |sin11x| ≤ 1 и |sin5x| ≤ 1, а потому левая часть может равняться 2 лишь в случае, когда sin11x = 1 и sin5x = -1.

Решая первое уравнение sin11x = 1 приходим к ответу x = π/22 + 2πn/11 (nZ).

Решая второе уравнение sin5x = -1 приходим к ответу x = -π/10 + 2πm/5 (mZ).

Найдем те случаи, когда оба условия выполняются, т.е.

π/22 + 2πn/11 = -π/10 + 2πm/5;

(4n + 1)π/22 = (4m - 1)π/10;

20n = 44m - 16;

5n = 11m - 4 (n, mZ).

Данное уравнение называется диофантовым и имеет следующие решения: m = 4 + 5t, n = 8 + 11t (n, t, mZ).

Откуда x = -π/10 + 2πm/5 = -π/10 + 2π(4 + 5t)/5 = 3π/2 + 2πt (tZ).

Ответ: x = 3π/2 + 2πt.


 

Решить уравнение ctg2x = cos22x - 1.

____________________________

Сделаем преобразование cos22x - 1 = -sin22x и получим:

ctg2x = -sin22x.

Отметим, что ctg2x ≥ 0, а -sin22x ≤ 0. Равенство выполняется, когда ctg2x = 0 и sin22x = 0.

Первое уравнение ctg2x = 0 имеет решение x = π/2 + πn (nZ).

Второе уравнение sin22x = 0 имеет решение x = πm/2 (mZ).

Найдем общее решение:

π/2 + πn = πm/2;

n - 2m = 1.

n = 3 + 2t, m = 1 + t (m, n, tZ).

Откуда x = πm/2 = (1 + t)π/2 = 3π/2 + πt (tZ).

Ответ: x = 3π/2 + πt.


 

Решить уравнение sin3x cos5x = 1.

______________________________

Используем формулу произведения синуса и косинуса:

(sin8x - sin2x)/2 = 1;

sin8x - sin2x = 2.

Уравнение будет иметь решения лишь тогда, когда sin8x = 1, а sin2x = -1.

Первое уравнение sin8x = 1 имеет решения x = π/16 + πn/4 (nZ) (*).

Второе уравнение sin2x = -1 имеет решения x = -π/4 + πm (mZ) (**).

Найдем решения, удовлетворяющие оба случая:

π/16 + πn/4 = -π/4 + πm;

16m - 4n = 5.

Левая часть уравнения делится на 4, правая - нет. Потому данное уравнение не имеет решения в целых числах. А значит и общих решений у (*) и (**) нет.

Ответ: Решений нет.



1 2 3 4...5
Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Однажды один из учеников Евклида спросил его: "А какая мне будет практическая польза от изучения геометрии?" В ответ Евклид позвал раба и, указывая на ученика, сказал: "Дай ему монету - он ищет выгоду, а не знаний!"
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.

Самая актуальная информация о компании Galliardo.