Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения

1. Метод бесконечного спуска.

Суть этого метода состоит в следующем: предположив, что уравнение имеет решение, мы выстраиваем некий бесконечный процесс, который на самом деле, по условию задачи, должен когда-то закончиться.


Пример:

Найти решение уравнения 2m2 = n2 в целых числах.

Решение: Начнем исследование данного уравнения. Левая часть уравнение делится на 2, значит и правая должна делится на 2. Тогда n = 2n1, где n1Z (очевидно, если квадрат числа делится на 2, то и само число делится на 2).

2m2 = 4n12;

m2 = 2n12.

Теперь правая часть уравнения делится на 2, потому m = 2m1, где m1Z.

4m12 = 2n12;

2m12 = n12.

Мы видим, что если пара (m; n) удовлетворяет уравнению, то и пара чисел (m1; n1) уменьшенных на 2, также удовлетворяет условию. Т.е. числа (m1; n1) должны оставаться парными. И как бесконечно долго мы не делили бы числа на 2, результат также должен оставаться парным числом. В целых числах лишь число 0 удовлетворяет данному утверждению.

Ответ: m = n = 0


2. Метод остатков.

Цель метода - нахождение остатков от деления обоих частей уравнения на некоторое целое число и анализ полученных результатов. Зачастую полученная информация значительно сужает множество возможных решений уравнения.


Пример:

Доказать, что уравнение x2 = 3y + 2 не имеет решений в целых числах.

Доказательство: Рассмотрим случай, когда x, yN. Рассмотрим остатки от деления обоих частей на 3. Правая часть уравнения дает остаток 2 при делении на 3 при любом значении y. Левая же часть, которая является квадратом натурального числа, при делении на 3 всегда дает остаток 0 или 1 (доказательство ищите в разделе "Задачи с решением"). Исходя из этого получаем, что решения данного уравнения в натуральных числах нет.

Рассмотрим случай, когда одно из чисел равно 0. Тогда очевидно, решений в целых числах нет.

Случай, когда y - целое отрицательное не имеет решений, т.к. правая часть будет отрицательна, а левая - положительна.

Случай, когда x - целое отрицательное, также не имеет решений, т.к. попадает под один из рассмотренных ранее случаев ввиду того, что (-x)2 = (x)2.

Получается, что указанное уравнение не имеет решений в целых числах, что и требовалось доказать.




Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!
Дьёрдь Пойя
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.