Найти двузначное число, равное сумме квадрата числа единиц и числа десятков.

Ответ: 89.

Доказать, что при любом натуральном n числа 21n + 4 и 14n + 3 взаимно простые.

Указание: Запишите эти числа через их наибольший общий делитель. Далее путем преобразований докажите, что он равен 1.

Решить уравнение x⁴ + 2x⁷y - x¹⁴ - y² = 7 в целых числах.

Указание: Приведите левую часть к виду x⁴ - (x⁷ - y)².

Ответ: пары (x; y) равны (2; 131), (2; 125), (-2; -131), (-2; -125).

Решить уравнение xy = x + y в целых числах.

Ответ: пары (x; y) равны (2; 2), (0; 0).

Решить уравнение ¹/_x + ¹/_y = ¹/₅ в целых числах.

Ответ: пары (x; y) равны (30; 6), (6; 30), (4; -20), (-20; 4), (10; 10).

Доказать, что уравнение x² + y² + z² = 2xyz имеет единственное решение в целых числах:
x = y = z = 0.

Указание: Рассмотрите четность-нечетность тройки x, y, z и воспользуйтесь методом бесконечного спуска.