Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения
1...2 

Найти трехзначное число, записанное в десятичной системе в виде abc, равное полусумме чисел bca и cab.

_____________________________________________________________________________

Перепишем условие задачи и получим:

2(100a + 10b + c) = (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b),

что после превращения преобразуется в 7a = 3b + 4c, или 3(a - b) = 4(c - a). Отсюда следует, что a - b делится на 4, т.е. a - b = 4m. Из равенства 3(a - b) = 4(c - a) получаем, что c - a = 3m. Сложив равенства a - b = 4m и c - a = 3m получаем c - b = 7m. Но |c - b| ≤ 9, а потому m может принимать лишь значения -1, 0, 1. Если m = 1, то из равенства c - b = 7m получаем, что возможны лишь следующие случаи: 1) c = 7, b = 0; 2) c = 8, b = 1; 3) c = 9, b = 2. А так как c - a = 3m, то отсюда получаем для a значения 4, 5, 6. И числа-ответы: 407, 518, 629. Аналогично, при m = -1 находим числа 370, 481, 592. Наконец, при m = 0 получаем a - b = 4m = 0, c - a = 3m = 0, т.е. a = b = c. Получаем еще 9 чисел: 111, 222, ... ,999.

Ответ: 407, 518, 629, 370, 481, 592, 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999.


 

Найти четырехзначное число abca (в десятичной записи), равное (5c + 1)2.

________________________________________________________________

Учтем, что 0 < a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9; 0 ≤ c ≤ 9; a, b, c Z и согласно условию запишем:

1001a + 100b + 10c = 25c2 + 10c + 1;

25c2 = 1001a + 100b - 1;

25c2 - 1000a - 100b = a - 1;

Левая часть равенства делится на 25, значит и a - 1 должно делится на 25. Единственный возможный вариант - a = 1. Тогда

25c2 - 100b = 1000;

c2 = 40 + 4b;

c = 2.

Корень из b + 10 должен быть целым числом, а, согласно ограничениям на b, это возможно лишь при b = 6. Значит c = 8. Искомое число 1681.

Ответ: 1681.


 

Пусть p - простое число. Доказать, что 8p2 + 1 - простое число, лишь при p = 3.

___________________________________________________________________

При p = 3, 8p2 + 1 = 73 - простое число. Докажем, что если p ≠ 3, то 8p2 + 1 - составное.

Из всех чисел кратным трем, лишь число 3 является простым. Пусть p не равно 3. Тогда p = 3k ± 1. Тогда 8p2 + 1 = 8(3k ± 1)2 + 1 = 8(9k2 ± 6k + 1) + 1 = 72k2 ± 48k + 9 = 3(24k2 ± 16k + 3). Т.е., если p = 3k ± 1, то 8p2 + 1 - составное. А значит лишь при p = 3, число 8p2 + 1 - простое.

Что и требовалось доказать.


 

Решить уравнение x2 - y2 = 93 в целых числах.

_______________________________________

Для решения данной задачи необходимо найти все пары целых чисел (x; y), которые удовлетворяют условию или показать, что таких пар не существует.

Так как левая часть равенства можно разложить на множители, то резонно это сделать:

(x - y)(x + y) = 93;

Правая часть имеет восемь делителей: 1, 3, 31, 93, -1, -3, -31, -93, а потому может быть разложено на два целых множителя лишь восемью способами. А значит и уравнение имеет решения в восьми случаях:

Решив каждую из систем, получаем восемь пар решений исходного уравнения (47; 46), (47; -46), (-47; 46), (-47; -46), (17; 14), (17; -14), (-17; 14), (-17; -14).

Ответ: пары чисел (x; y) равны (47; 46), (47; -46), (-47; 46), (-47; -46), (17; 14), (17; -14), (-17; 14), (-17; -14).



1...2 
Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Известный французский физик и математик Андре Мари Ампер (1775 - 1836) был невероятно рассеян. Однажды, выходя из своего дома, он мелом написал на двери: "Господа! Хозяина нет дома, приходите вечером". Вскоре Ампер вернулся обратно, но, увидев на двери эту надпись, снова ушел. Домой он пришел поздно вечером.
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.