Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения
1...2

Решить уравнение xy + 3x - 5y = -3 в целых числах.

____________________________________________

В данном уравнение левая часть явно на множители не разлагается. Однако, мы можем к обоим частям добавить целые числа, чтобы разложить левую часть на множители:

x(y + 3) - 5y = -3;

x(y + 3) - 5y -15 = -18;

(x - 5)(y + 3) = 18.

Получаем следующие системы:

Решая их, получаем следующие ответы (x; y) - (6; -21), (-13; -2), (4; 15), (23; -4), (7; -12), (-4; -1), (3; 6), (14; -5), (8; -9), (-1; 0), (2; 3), (11; -6).

Ответ: пары (x; y) равны (6; -21), (-13; -2), (4; 15), (23; -4), (7; -12), (-4; -1), (3; 6), (14; -5), (8; -9), (-1; 0), (2; 3), (11; -6).


 

Решить уравнение 4x3 - 2y3 - z3 = 0 в целых числах.

___________________________________________

В данной задаче левая часть не разлагается на множители и, вообще, сложно найти преобразование, ведущее к решению этой задаче.

Остается исследовать свойства чисел, входящие в уравнение. Один из вариантов - метод бесконечного спуска.

В данном уравнении 4x3 и - 2y3 делятся на 2, значить и z3 должно делиться на 2. Обозначим z = 2z1, где z1Z.

Подставляем в исходное уравнение, получаем:

4x3 - 2y3 - 23z13 = 0;

2x3 - y3 - 4z13 = 0.

Теперь мы видим, что 2x3 и - 4z13 делятся на 2. Значит и - y3 должно делится на 2. Обозначим y = 2y1, где y1Z.

Тогда 2x3 - 23y13 - 4z13 = 0;

x3 - 4y13 - 2z13 = 0.

Отчего следует, что x3 делится на 2. Полагая, что x = 2x1, где x1Z, получим:

23x13 - 4y13 - 2z13 = 0;

43x13 - 2y13 - z13 = 0.

Какие выводы можно сделать? Мы видим, что тройка (x; y; z) должна быть четная. Но при этом числа (x1; y1; z1), которые равны предыдущей тройке уменьшенной на 2, также удовлетворяют уравнению. Но раз так, значит и они должны делиться на 2.

Получается, что числа удовлетворяющие условию задачи должны быть четными, сколько бы раз мы их не делили на 2. Единственным четным числом, удовлетворяющим данное условие есть 0. Из чего делаем вывод, что решение данного уравнения одно x = y = z = 0.

Ответ: x = y = z = 0.


 

Найти остатки от деления квадрата целого числа на 3.

______________________________________________

Целое число x при делении на 3 может давать следующие остатки: 0, 1, 2. Рассмотрим все случаи:

Пусть x = 3k (kZ).

x2 = (3k)2 = 9k2. Т.е. остаток будет равен 0.

Пусть x = 3k + 1 (kZ).

x2 = (3k + 1)2 = 9k2 + 6k + 1. Видим, что первые два слагаемые делятся на 3, а третье дает остаток 1, потому и квадрат числа в данном случае будет давать остаток 1 при делении на 3.

Пусть x = 3k + 2 (kZ).

x2 = (3k + 2)2 = 9k2 + 6k + 4. Видим, что первые два слагаемые делятся на 3, а третье также дает остаток 1, потому и квадрат будет иметь остаток равен 1 при делении на 3.

Мы перебрали все случаи и видим, что квадрат целого числа при делении на 3 всегда дает остаток 0 или 1.

Ответ: Остаток равен 0 или 1.



1...2
Поиск по сайту
Перевод на другие языки
...Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение.
Вениамин Федорович Каган
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.