Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия


Соотнешие между средними величинами - средним арифметическим, средним геометрическом, средним квадратическим и средним гармоническим.


Зачастую в средних класах мы пользуемся известным выражением о том, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел больше чем среднее геометрические их значение:

(a + b)/2ab, для любых a, bZ +.

Доказывается неравенство достаточно просто. Умнажаем обе части на 2 и переносим правую честь влево:

a + b - 2ab ≥ 0;

(a - b)2 ≥ 0.

Что и требовалось доказать.

Оказывается, это неравествено - это лишь частный случай т.н. соотношения между средними величинами.

Для двух положительных чисел оно имеет следующий вид (общий случай для n чисел):

Пусть a, bR, тогда иммет место неравенство:

2

1/a + 1/b

ab ab

2

a2 + b2

2

где части неравества имеют названия (по мере возрастания) - среднее гармоническое, среднее геометрическое, среднее арифметическое, среднее квадратическое.

Докажем его. Покажем, что среднее геометрическое больше, чем среднее гармоническое.

ab2/(1/a + 1/b);

ab ≥ 2ab / (a + b);

ab(a + b) ≥ 2ab; сокращаем на ab, т.к. это положительное число.

a + b ≥ 2ab;

(a - b)2 ≥ 0.

Что и требовалось доказать.

Соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим рассматривалось выше. Докажем, что среднее квадратическое больше среднего арифметического:

(a2 + b2) / 2 ≥ (a + b) / 2; так как справа положительное число, подносим в квадрат обе части:

(a2 + b2) / 2 ≥ (a2 + 2ab + b2) / 4; переносим все в левую часть, умножаем на 4:

a2 - 2ab + b2 ≥ 0;

(a - b)2 ≥ 0.

Что и требовалось доказать.

Неравенство имеет место для n чисел и звучит так:


Для любых n положительных чисел a1a2 ≤ .... ≤ an имеет место соотношение:

a1 n

1 / a1 + 1 / a2 + ... + 1 / an

n a1a2...an a1 + a2 + ... + an

n

a12 + a22 + ... + an2

n

an

причем равенство достигается лишь тогда и только тогда, когда a1 = a2 = .... = an, где

n

1 / a1 + 1 / a2 + ... + 1 / an

- среднее гармоническое,
n a1a2...an - среднее геометрическое,
a1 + a2 + ... + an

n

- среднее арифметическое,
a12 + a22 + ... + an2

n

- среднее квадратическое.

Назад

Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Математика – царица наук, арифметика – царица математики.
Карл Фридрих Гаусс
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.