Сумма первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии равна 21. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему члену прибавить 2, то полученные три члена составят геометрическую прогрессию. Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии.
____________________________________________________________________________
Обозначим через ai - члены арифметической прогрессии c разностью d, через bi - геометрической, с знаменателем q.
Согласно формуле суммы арифметической прогрессии имеем S3 = (2a1 + 2d) · 3 / 2 = 21 или a1 + d = 7.
По условию a1 - 1, a1 + d - 1, a1 + 2d + 2 - три последовательных члена геометрической прогрессии. Используем свойство геометрической прогрессии:
(a1 + d - 1)2 = (a1 + 2d + 2)(a1 - 1).
После замены переменной a1 = 7 - d и открытия скобок получаем квадратное уравнение
d2 + 3d - 18 = 0, т.е. d1 = 3, d2 = -6.
Условию удовлетворяет лишь d1 = 3 (т.к. арифметическая прогрессия возрастающая). В этом случае a1 = 4. Находим b1 = a1 - 1 = 3. b2 = a1 + d - 1 = 6, откуда q = 2.
Наконец, согласно формуле суммы членов геометрической прогрессии получаем:
S8 = [b1(q8 - 1)] / (q - 1) = 765.
Ответ: S8 = 765.
Сумма трех чисел, которые составляют арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна 14/9. Найти эти числа.
____________________________________________________________________________
Используя тот факт, что числа составляют арифметическую прогрессию, запишем их как a, a + d, a + 2d.
Согласно условию их сумма равна 2, т.е. 3a + 3d = 2, a = 2/3 - d.
Согласно второму условию a2 + (a + d)2 + (a + 2d)2 = 14/9.
После раскрытия скобок получаем 27a2 + 45d2 + 54ad = 14.
Делаем замену переменной a = 2/3 - d, раскрываем скобки и получаем:
d2 = 1/9.
d = ±1/3.
Теперь легко найти числа, составляющие арифметическую прогрессию. При любом из значений d = ±1/3 числа будут равны 1/3, 2/3, 1.
Ответ: 1/3, 2/3, 1.
Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18.
____________________________________________________________________________
Используя тот факт, что числа составляют геометрическую прогрессию, запишем их как b, bq, bq2, bq3.
По условию:
1) bq2 = b + 9.
2) bq = bq3 + 18.
Домножаем первое уравнение на q и складываем со вторым:
9q + 18 = 0.
Откуда q = -2. Из первого уравнения находим b. b = 3.
Теперь легко найдем все числа: 3, -6, 12, -24.
Ответ: 3, -6, 12, -24.
Найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7.
___________________________________________________
Сначала найдем минимальное и максимальное трехзначные числа, которые делятся на 7. Это числа 105 и 994 соотвественно. Запишем a1 = 105, am = 994.
Найдем m, т.е. количество трехзначных чисел, которые делятся на 7. Используем свойство прогрессии и получаем:
994 = 105 + 7(m - 1).
Откуда m = 128.
А теперь воспользуемся формулой суммы m членов арифметической прогрессии S128 = (105 + 994) · 128 / 2 = 70336.
Ответ: 70336.