Упростить выражение √x + 2√x - 1 + √x - 2√x - 1 , при 1 ≤ x ≤ 2.

_______________________________________________________

Попробуем выделить под корнями полные квадраты и решать как в случае с числовыми значениями:

√x + 2√x - 1 + √x - 2√x - 1 = √x - 1 + 2√x - 1 + 1 + √x - 1 - 2√x - 1 + 1 =
√(√x - 1 + 1)² + √(√x - 1 - 1)² = |√x - 1 + 1| + |√x - 1 - 1|.

Первое слагаемое всегда положительное, потому модуль отрывается со знаком "+". А поскольку, по условию 1 ≤ x ≤ 2, то x - 1 ≤ 1, то второй модуль открываем со знаком "-".

|√x - 1 + 1| + |√x - 1 - 1| = √x - 1 + 1 + 1 - √x - 1 = 2.

Ответ: 2.

Упростить выражение √2x + 2√x² - y² , при x ≥ y > 0.

_____________________________________________

Попробуем выделить полный квадрат:

√2x + 2√x² - y² = √x + y + 2√x² - y² + x - y = √(√x + y + √x - y)² =
√x + y + √x - y

Ответ: √x + y + √x - y.

Упростить выражение √10x + 2√25x² - y² - √10x - 2√25x² - y².

____________________________________________________

Выделим полные квадраты в каждом из квадратных корней:

√10x + 2√25x² - y² - √10x - 2√25x² - y² =
√5x + y + 2√25x² - y² + 5x - y - √5x + y - 2√25x² - y² + 5x - y =
√(√5x + y + √5x - y)² - √(√5x + y - √5x - y)² = |√5x + y + √5x - y| - |√5x + y - √5x - y|.

Значение под первым модулем всегда положительное, потому его открываем со знаком "+". Исследуем знак второго подмодульного выражения. Отметим, что 5x + y ≥ 0; 5x - y ≥ 0;

√5x + y ≥ √5x - y когда 5x + y ≥ 5x - y, то есть когда y ≥ 0.

Аналогично √5x + y < √5x - y, когда y < 0.

Потому, если y ≥ 0 второй модуль открываем со знаком "+":

|√5x + y + √5x - y| - |√5x + y - √5x - y| = √5x + y + √5x - y - √5x + y + √5x - y = 2√5x - y.

Если y < 0, второй модуль открываем со знаком "-":

|√5x + y + √5x - y| - |√5x + y - √5x - y| = √5x + y + √5x - y + √5x + y - √5x - y = 2√5x + y.

Ответ: Если y ≥ 0, то 2√5x - y; если y < 0, то 2√5x + y.