Решить уравнение cos(cosx) = 1.
___________________________
Используем методом решения и получаем:
cosx = ±arccos1 + 2πn = 2πn (n ∈ Z).
Так как при целом n выражение |2πn| ≤ 1 лишь в том случае, когда n = 0, то это единственное значение n, при котором имеет смысл верхнее неравенство. Тогда
cosx = 0, откуда
x = ±π/2 + 2πk, k ∈ Z
Ответ: x = ±π/2 + 2πk.
Решить уравнение cos2x - 3sinx = 2.
_________________________________
Воспользуемся формулой удвоенного угла косинуса (cos2a = 1 - 2sin2a) и получим:
1 - 2sin2x - 3sinx = 2.
Воспользуемся методом замены, обозначим sinx = y. Уравнение примет вид:
2y2 + 3y + 1 = 0.
Находим его корни: y1 = -1, y2 = -1/2.
Возвращаемся к исходной переменной и получаем совокупность sinx = -1 и sinx = -1/2.
Из первого получаем решение - x = -π/2 + 2πn, из второго - x = (-1)m(-π/6) + πm (m, n ∈ Z).
Ответ: x = -π/2 + 2πn или x = (-1)m(-π/6) + πm.
Решить уравнение 2tgx - 3ctgx = 1.
______________________________
Так как ctgx = 1/tgx при x ≠ πn/2 (n ∈ Z) получаем уравнение
2tgx - 3/tgx = 1 или 2tg2x - tgx - 3 = 0.
Вводим новую переменную tgx = y и решаем квадратное уравнение 2y2 - y - 3 = 0 относительно y.
Оно имеет два решения y1 = 3/2, y2 = -1.
Возвращаемся к исходной переменной и решаем два уравнения:
tgx = 3/2, откуда x = arctg(3/2) + πn, n ∈ Z.
tgx = -1, откуда x = arctg(-1) + πm = -π/4 + πm, m ∈ Z.
Ответ: x = arctg(3/2) + πn или x = -π/4 + πm.
Решить уравнение 3cosx - sin2x = 1 - sin3x.
_____________________________________
Сделаем следующее преобразование 3(cosx + sinx) = 1 + sin2x.
Замена cosx + sinx = t приведет к уравнению 3t = t2. Оно имеет корни t1 = 0, t2 = 3.
Берем первый корень, возвращаем замену и получаем cosx + sinx = 0, делим на cosx ≠ 0, откуда tgx = -1, x = -π/4 + πn (n ∈ Z).
Второй корень t2 дает уравнение cosx + sinx = 3. Это уравнение не имеет решений, т.к. и cosx, и cosx меньше равны 1, в сумме меньше равны 2.
Ответ: x = -π/4 + πn.