Решить уравнение sin3x cos8x = 1.

_______________________________

Используем формулу произведения синуса и косинуса:

(sin(3x + 8x) + sin(3x - 8x))/2 = 1;

sin11x - sin5x = 2.

Отметим, что |sin11x| ≤ 1 и |sin5x| ≤ 1, а потому левая часть может равняться 2 лишь в случае, когда sin11x = 1 и sin5x = -1.

Решая первое уравнение sin11x = 1 приходим к ответу x = π/22 + 2πn/11 (n ∈ Z).

Решая второе уравнение sin5x = -1 приходим к ответу x = -π/10 + 2πm/5 (m ∈ Z).

Найдем те случаи, когда оба условия выполняются, т.е.

π/22 + 2πn/11 = -π/10 + 2πm/5;

(4n + 1)π/22 = (4m - 1)π/10;

20n = 44m - 16;

5n = 11m - 4 (n, m ∈ Z).

Данное уравнение называется диофантовым и имеет следующие решения: m = 4 + 5t, n = 8 + 11t (n, t, m ∈ Z).

Откуда x = -π/10 + 2πm/5 = -π/10 + 2π(4 + 5t)/5 = 3π/2 + 2πt (t ∈ Z).

Ответ: x = 3π/2 + 2πt.

Решить уравнение ctg²x = cos²2x - 1.

____________________________

Сделаем преобразование cos²2x - 1 = -sin²2x и получим:

ctg²x = -sin²2x.

Отметим, что ctg²x ≥ 0, а -sin²2x ≤ 0. Равенство выполняется, когда ctg²x = 0 и sin²2x = 0.

Первое уравнение ctg²x = 0 имеет решение x = π/2 + πn (n ∈ Z).

Второе уравнение sin²2x = 0 имеет решение x = πm/2 (m ∈ Z).

Найдем общее решение:

π/2 + πn = πm/2;

n - 2m = 1.

n = 3 + 2t, m = 1 + t (m, n, t ∈ Z).

Откуда x = πm/2 = (1 + t)π/2 = 3π/2 + πt (t ∈ Z).

Ответ: x = 3π/2 + πt.

Решить уравнение sin3x cos5x = 1.

______________________________

Используем формулу произведения синуса и косинуса:

(sin8x - sin2x)/2 = 1;

sin8x - sin2x = 2.

Уравнение будет иметь решения лишь тогда, когда sin8x = 1, а sin2x = -1.

Первое уравнение sin8x = 1 имеет решения x = π/16 + πn/4 (n ∈ Z) ^(*).

Второе уравнение sin2x = -1 имеет решения x = -π/4 + πm (m ∈ Z) ^(**).

Найдем решения, удовлетворяющие оба случая:

π/16 + πn/4 = -π/4 + πm;

16m - 4n = 5.

Левая часть уравнения делится на 4, правая - нет. Потому данное уравнение не имеет решения в целых числах. А значит и общих решений у ^(*) и ^(**) нет.

Ответ: Решений нет.