Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения
1...2 3 4 

Доказать, что при x > 0 и nN выполняется неравенство:

Указание: Воспользуйтесь неравенством Коши для n чисел.

Доказательство: Воспользуемся неравенством Коши для n чисел, взяв их следующим образом: x1 = x2 = ... = xn-1 = 1, xn = 1 + x.


 

Решить уравнение

Указание: Выделите под корнями квадраты разниц.

Ответ: 2 ≤ x ≤ 5.


 

Доказать, что при всех x ∈ [0; π/2] выполняется неравенство xcosx < .

Указание: Воспользуйтесь двумя неравенствами: sinxx при x ≥ 0 и cosx = sin(π/2 - x).

Доказательство: Для x ≥ 0 выполняется неравенство sinxx; потому для x ∈ [0; π/2] имеем:
    xcosx = xsin(π/2 - x) ≤ x(π/2 - x) ≤ π2/16.
    А так как π < 3.2, > 1.4, то π2 < 10.24, а 8 > 11.2 . Таким образом
    xcosxπ2/16 < 10.24/16 < 11.2/16 < Что и требовалось доказать.


 

Решить уравнение 2[x] = 1 + 2x, где [x] - целая часть числа x.

Указание: Стоит заметить, что при [x] ≤ -2 равенство не выполняется. Воспользуйтесь методом математической индукции и докажите, что при [x] ≥ 4 равенство также не выполняется.

Ответ: x = -1/4, x = 0, x = 7/2
Решение: Преобразуем исходное уравнение в 2[x] - 1 = 1/2 + [x] + {x}, где {x} = x - [x].
При [x] ≤ -2, 2[x] - 1 > 1/2 + [x] + {x}(*), так как правая часть отрицательная. Докажем при помощи метода мат.индукции по [x], что при [x] ≥ 4 неравенство (*) также выполняется.
База: [x] = 4, тогда 24 - 1 = 8 > 51/2 > 1/2 + 4 + {x}. База доказана.
Переход индукции: Пусть при неком [x] имеет место 2[x] - 1 = 1/2 + [x] + {x}.
Докажем верность 2[x] + 1 - 1 = 1/2 + [x] + 1 + {x}.
Согласно переходу: 2[x] = 2(1/2 + [x] + {x}) = 1/2 + [x] + {x} + 1/2 + [x] + {x} > 1/2 + [x] + {x} + 4 > 1/2 + [x] + 1 + {x}. Что и требовалось доказать.
Осталось проверить случаи, когда [x] = -1, 0, 1, 2, 3. Перебирая их, находим ответы: x = -1/4, x = 0, x = 7/2.


 

Пусть a, b, c, d - целые числа. Доказать, что выражение
((a - c)2 + (b - d)2)(a2 + b2) - (ad - bc)2 является квадратом целого числа.

Указание: Докажите, что ((a - c)2 + (b - d)2)(a2 + b2) - (ad - bc)2 = (a2 + b2 - ac - bd)2.


 

Для каких натуральных чисел k существуют такие натуральные числа m и n, что mk + n и nk + m одновременно являются k-ыми степенями некоторых натуральных чисел?

Ответ: k = 1.

Решение: Если k = 1, то числа m и n могут быть любыми. Для k ≥ 2 таких натуральных чисел не существует. Докажем от противного.
Пусть это не так. Тогда существует такое натуральное число p ≥ 1, для которого
mk + n = (m + p)k. Отсюда получаем:
n = (m + p)k - mk = ((m + p) - m)((m + p)k - 1 + (m + p)k - 2m + ... + (m + p)mk - 2 + mk - 1) >
p(mk - 1 + mk - 1 + ... + mk - 1) = pkmk - 1 > m. Т.е. n > m.
Аналогично, рассматривая другое число, доказывается, что m > n. Противоречие. Значит единственный ответ: k = 1.



1...2 3 4 
Поиск по сайту
Перевод на другие языки
В книге, опубликованной в 1940 г., содержится 370 различных способов доказательства теоремы Пифагора, включая одно, предложенное президентом США Гарфилдом.
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.