Доказать, что при x > 0 и n ∈ N выполняется неравенство:

Указание: Воспользуйтесь неравенством Коши для n чисел.

Доказательство: Воспользуемся неравенством Коши для n чисел, взяв их следующим образом: x₁ = x₂ = ... = x_n-1 = 1, x_n = 1 + x.

Решить уравнение

Указание: Выделите под корнями квадраты разниц.

Ответ: 2 ≤ x ≤ 5.

Доказать, что при всех x ∈ [0; ^π/₂] выполняется неравенство xcosx < .

Указание: Воспользуйтесь двумя неравенствами: sinx ≤ x при x ≥ 0 и cosx = sin(^π/₂ - x).

Доказательство: Для x ≥ 0 выполняется неравенство sinx ≤ x; потому для x ∈ [0; ^π/₂] имеем:
    xcosx = xsin(^π/₂ - x) ≤ x(^π/₂ - x) ≤ ^π2/₁₆.
    А так как π < 3.2, > 1.4, то π² < 10.24, а 8 > 11.2 . Таким образом
    xcosx ≤ ^π2/₁₆ < ^10.24/₁₆ < ^11.2/₁₆ < Что и требовалось доказать.

Решить уравнение 2^[x] = 1 + 2x, где [x] - целая часть числа x.

Указание: Стоит заметить, что при [x] ≤ -2 равенство не выполняется. Воспользуйтесь методом математической индукции и докажите, что при [x] ≥ 4 равенство также не выполняется.

Ответ: x = -¹/₄, x = 0, x = ⁷/₂
Решение: Преобразуем исходное уравнение в 2^{[x] - 1} = ¹/₂ + [x] + {x}, где {x} = x - [x].
При [x] ≤ -2, 2^{[x] - 1} > ¹/₂ + [x] + {x}^(*), так как правая часть отрицательная. Докажем при помощи метода мат.индукции по [x], что при [x] ≥ 4 неравенство ^(*) также выполняется.
База: [x] = 4, тогда 2^{4 - 1} = 8 > 5¹/₂ > ¹/₂ + 4 + {x}. База доказана.
Переход индукции: Пусть при неком [x] имеет место 2^{[x] - 1} = ¹/₂ + [x] + {x}.
Докажем верность 2^{[x] + 1 - 1} = ¹/₂ + [x] + 1 + {x}.
Согласно переходу: 2^[x] = 2(¹/₂ + [x] + {x}) = ¹/₂ + [x] + {x} + ¹/₂ + [x] + {x} > ¹/₂ + [x] + {x} + 4 > ¹/₂ + [x] + 1 + {x}. Что и требовалось доказать.
Осталось проверить случаи, когда [x] = -1, 0, 1, 2, 3. Перебирая их, находим ответы: x = -¹/₄, x = 0, x = ⁷/₂.

Пусть a, b, c, d - целые числа. Доказать, что выражение
((a - c)² + (b - d)²)(a² + b²) - (ad - bc)² является квадратом целого числа.

Указание: Докажите, что ((a - c)² + (b - d)²)(a² + b²) - (ad - bc)² = (a² + b² - ac - bd)².

Для каких натуральных чисел k существуют такие натуральные числа m и n, что m^k + n и n^k + m одновременно являются k-ыми степенями некоторых натуральных чисел?

Ответ: k = 1.

Решение: Если k = 1, то числа m и n могут быть любыми. Для k ≥ 2 таких натуральных чисел не существует. Докажем от противного.
Пусть это не так. Тогда существует такое натуральное число p ≥ 1, для которого
m^k + n = (m + p)^k. Отсюда получаем:
n = (m + p)^k - m^k = ((m + p) - m)((m + p)^{k - 1} + (m + p)^{k - 2}m + ... + (m + p)m^{k - 2} + m^{k - 1}) >
p(m^{k - 1} + m^{k - 1} + ... + m^{k - 1}) = pkm^{k - 1} > m. Т.е. n > m.
Аналогично, рассматривая другое число, доказывается, что m > n. Противоречие. Значит единственный ответ: k = 1.