Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения
1...2...3 4 

Каких значений может достигать ab + cd, если a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1 и ac + bd = 0?

Ответ: ab + cd = 0. Воспользуйтесь векторами для решения задачи.

Решение: Приведенные условия означают в совокупности, что векторы e = (a,b) и f = (c,d) единичные и взамно перпендикулярны.
Потому e = (cos φ, sin φ), f = (cos ψ, sin ψ), причем |φ - ψ| = π/2. Пусть, например ψ = φ + π/2. Тогда f = (-sin φ, cos φ). А потому ab + cd = 0.


 

Вычислить сумму 1/1·3 + 1/3·5 + ... + 1/(2n - 1)·(2n + 1),  где nN.

Указание: Воспользуйтесь равенством 1/k·(k + 2) = 1/2(1/k - 1/(k + 2)).

Ответ: n/(2n + 1).


 

Вычислить сумму 0/1 + 1/2! + 2/3! + ... + (n - 1)/n!, где nN.

Указание: Воспользуйтесь равенством (k - 1)/! = 1/(k - 1)! - 1/!.

Ответ: 1 - 1/n!.


 

Вычислить сумму 1·1! + 2·2! + 3·3! + ... n·n!, где nN.

Указание: Воспользуйтесь равенством k!k = (k + 1)! - k!.

Ответ: (n + 1)! - 1.


 

Доказать, что если p и q нечетные, то уравнение x10 + px7 + q = 0 не имеет целых решений.

Указание: Покажите, что x не может быть ни четным, ни нечетным числом.

Ответ: Допустим, что x - четное, т.е. x = 2n (nZ). Тогда уравнение принимает вид:
(2n)10 + (2n)7p + q = 0. Первое слагаемое четное, второе - четное, третье - нечетное. Потому левая часть нечетная. А правая - четная. Имеем противоречие. Четным x не может быть.
Предположим, что x - нечетное, т.е. x = 2n + 1 (nZ). Тогда уравнение будет иметь вид:
(2n + 1)10 + (2n + 1)7p + q = 0. Первое слагаемое нечетное, второе - нечетное и третье, по условию, - нечетное. Потому и вся левая часть - нечетная. А правая - четная. Противоречие. x - не нечетное. Получается, что x не может быть ни четным, ни нечетным. А значит, x - не целое число.
Что и требовалось доказать.


 

Определить a так, чтобы один из корней уравнения 4x2 - 15x + 4a = 0 был квадратом другого.

Указание: Воспользуйтесь теоремой Виета.

Ответ: a = -125/8, a = 27/8.



1...2...3 4 
Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Самым большим имеющим название недесятичным числом является буддистское число асанкхейя, равное 10140; оно упоминается в трудах Джайна-сутры, относящееся к 100 г. до н.э.
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.