Каких значений может достигать ab + cd, если a² + b² = 1, c² + d² = 1 и ac + bd = 0?

Ответ: ab + cd = 0. Воспользуйтесь векторами для решения задачи.

Решение: Приведенные условия означают в совокупности, что векторы e = (a,b) и f = (c,d) единичные и взамно перпендикулярны.
Потому e = (cos φ, sin φ), f = (cos ψ, sin ψ), причем |φ - ψ| = ^π/₂. Пусть, например ψ = φ + ^π/₂. Тогда f = (-sin φ, cos φ). А потому ab + cd = 0.

Вычислить сумму ¹/_1·3 + ¹/_3·5 + ... + ¹/_{(2n - 1)·(2n + 1)},  где n ∈ N.

Указание: Воспользуйтесь равенством ¹/_{k·(k + 2)} = ¹/₂(¹/_k - ¹/_{(k + 2)}).

Ответ: ⁿ/_{(2n + 1)}.

Вычислить сумму ⁰/₁ + ¹/_2! + ²/_3! + ... + ^{(n - 1)}/_n!, где n ∈ N.

Указание: Воспользуйтесь равенством ^{(k - 1)}/_k ! = ¹/_{(k - 1)!} - ¹/_k !.

Ответ: 1 - ¹/_n!.

Вычислить сумму 1·1! + 2·2! + 3·3! + ... n·n!, где n ∈ N.

Указание: Воспользуйтесь равенством k!k = (k + 1)! - k!.

Ответ: (n + 1)! - 1.

Доказать, что если p и q нечетные, то уравнение x¹⁰ + px⁷ + q = 0 не имеет целых решений.

Указание: Покажите, что x не может быть ни четным, ни нечетным числом.

Ответ: Допустим, что x - четное, т.е. x = 2n (n ∈ Z). Тогда уравнение принимает вид:
(2n)¹⁰ + (2n)⁷p + q = 0. Первое слагаемое четное, второе - четное, третье - нечетное. Потому левая часть нечетная. А правая - четная. Имеем противоречие. Четным x не может быть.
Предположим, что x - нечетное, т.е. x = 2n + 1 (n ∈ Z). Тогда уравнение будет иметь вид:
(2n + 1)¹⁰ + (2n + 1)⁷p + q = 0. Первое слагаемое нечетное, второе - нечетное и третье, по условию, - нечетное. Потому и вся левая часть - нечетная. А правая - четная. Противоречие. x - не нечетное. Получается, что x не может быть ни четным, ни нечетным. А значит, x - не целое число.
Что и требовалось доказать.

Определить a так, чтобы один из корней уравнения 4x² - 15x + 4a = 0 был квадратом другого.

Указание: Воспользуйтесь теоремой Виета.

Ответ: a = ^-125/₈, a = ²⁷/₈.