Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения
1...2 

Доказать, что .

____________________________________

Воспользуемся методом математической индукции.

1. База индукции.

При k = 1, = 2cosπ/4. Утверждение верно.

2. Переход индукции.

Допустим при неком k = n (n ∈ N) выражение

истинно. Докажем, что оно верно и при k = n + 1, т.е.

Но так как (исходя из истинности перехода индукции)

то нам нужно доказать следующее утверждение:

= 2cosπ/2n+2.

Делаем преобразования:

2 + 2cosπ/2n+1 = 4cos2 π/2n+2.

Для доказательства этого равенства воспользуемся формулой понижения степени косинуса 2cos2x = cos2x + 1. Тогда

4cos2 π/2n+2 = 2(cosπ/2n+1 + 1) = 2cosπ/2n+1 + 2. Что и требовалось доказать.

Переход доказан, а потому исходное утверждение верно при любом nN.


 

Найти все положительные корни уравнения nxn+1 - (n+1)xn + 1 = 0.

_________________________________________________________

Запишем уравнение в следующем виде:

nxn+1 - (n+1)xn + 1 = nxn(x - 1) - (xn - 1) = (x - 1)(nxn - xn-1 - xn-2 - ... - 1) = 0.

Очевидно, что x = 1 - корень уравнения. Докажем, что других положительных корней нет.

Действительно, если x > 1, то xn > xi, где i < n, а потому

   nxn - xn-1 - xn-2 - ... - 1 > nxn - nxn-1 > 0.

Если же 0 < x < 1, то xn < xi, где i < n, а потому

   nxn - xn-1 - xn-2 - ... - 1 < nxn - nxn-1 < 0.

Что и требовалось доказать.

Ответ: x = 1.


 

Целые числа x, y, z удовлетворяют уравнению x3 + y3 = z3. Доказать, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

____________________________________________________________________________

Докажем от обратного. Допустим все три числа x, y, z не делятся на 3. Тогда их можно представить в виде x = 3a ± 1, y = 3b ± 1, z = 3c ± 1. Наше уравнение будет иметь вид:

(3a ± 1)3 + (3b ± 1)3 = (3c ± 1)3;

27a3 ± 27a2 + 9a ± 1 + 27b3 ± 27b2 + 9b ± 1 = 27c3 ± 27c2 + 9c ± 1;

9(3a3 ± 3a2 + a + 3b3 ± 3b2 + b - 3c3 -+ 3a2 - c) = -+ 1 ± 1 -+ 1.

Левая часть равенства делится на 9. Правая часть не делится при любов из вариантов знака ±. Мы пришли к противоречию. А значит одно из чисел делится на 3.

Что и требовалось доказать.


 

Вычислить сумму 1/1·2 + 1/2·3 + ... + 1/n·(n + 1),  где nN.

____________________________________________

Воспользуемся следующим равенством:

1/k - 1/(k + 1) = 1/k·(k + 1).

Тогда нашу сумму можно переписать в следующем виде:

1/1·2 + 1/2·3 + ... + 1/n·(n + 1) = 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ... + 1/n - 1/(n + 1) = 1 - 1/(n + 1).

Ответ: 1 - 1/(n + 1).



1...2 
Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!
Дьёрдь Пойя
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.

Предлагаю систему для поиска грузов по россии.