Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения

1. Упрощение выражения вида a ± bc (a, bZ; cZ+).

Один из типов задач, которые учат упрощать выражения с корнем, имеют вид a ± bc (a, bZ; cZ+). В общем случае, нужно попытаться представить выражение a ± bc в виде квадрата двучлена. Когда числа a, b, c - небольшие, это получается сделать достаточно просто. Но что делать, когда a, b, c - "неприятные" и очевидно выделить искомый квадратный двучлен не удается?

Для начала представим выражение a ± bc в виде a ± 2d и будем считать его исходным (нужно сделать преобразование d = 1/4b2c).

Тогда, будет иметь место равенство a ± 2d = (x1 ± x2)2, где x1 и x2 являются корнями уравнения x2 - ax + d = 0.

При этом, если исходное выражение действительно можно упростить, указанное квадратное уравнение будет иметь рациональные корни.


Пример:

Упростить выражение 37 - 548.

Решение: Перепишем исходное выражение в виде следующего: 37 - 2300 и составим квадратное уравнение:

x2 - 37x + 300 = 0.

Решим его, получим корни x1 = 25; x2 = 12.

А потому 37 - 548 = (25 - 12)2 = 5 - 23.

Ответ: 5 - 23.


Этот метод применять и в том случае, когда вместо числовых значений фигурируют переменные. Но в этом случае нужно быть внимательным при раскрытии модуля, чтобы не расширить или не сузить область допустимых значений.


2. Упрощение выражения видаa ± √b и 3a ± 3b (a, bR).

Для упрощения выражений такого типа следует обозначить его неким x, а далее поднести в соотвествующую степень обе части равенства. В случае с корнем второй степени это будет выглядеть следующим образом:

a ± √b = x;

(√a ± √b)2 = x2;

a ± 2√ab + b = x2. (*)

Зачастую, если выражение можно упростить, значение √ab будет целым. А потому и вся левая часть предыдущего равенства (*) будет целая. Взяв из нее квадратный корень получим упрощенный вариант исходного выражения.

Аналогичные действия стоит предпринимать и в случае упрощения выражений представленных в виде суммы кубических корней неких значений.


Пример:

Упростить выражение 3 + 8 - 3 - 8.

Допустим 3 + 8 - 3 - 8 = x;

(3 + 8 - 3 - 8)2 = x2;

3 + 8 - 2 (3 - 8)(3 + 8) + 3 - 8 = x2;

6 - 29 - 8 = x2;

4 = x2;

Откуда x = 2 (т.к. исходное выражение было положительным).

Ответ: 2.




Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Самым большим имеющим название недесятичным числом является буддистское число асанкхейя, равное 10140; оно упоминается в трудах Джайна-сутры, относящееся к 100 г. до н.э.
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.

Ремонт балконов под ключ в харькове "Балкон сервис центр".