1. Упрощение выражения вида √a ± b√c (a, b ∈ Z; c ∈ Z⁺).

Один из типов задач, которые учат упрощать выражения с корнем, имеют вид √a ± b√c (a, b ∈ Z; c ∈ Z⁺). В общем случае, нужно попытаться представить выражение a ± b√c в виде квадрата двучлена. Когда числа a, b, c - небольшие, это получается сделать достаточно просто. Но что делать, когда a, b, c - "неприятные" и очевидно выделить искомый квадратный двучлен не удается?

Для начала представим выражение √a ± b√c в виде √a ± 2√d и будем считать его исходным (нужно сделать преобразование d = ¹/₄b²c).

Тогда, будет иметь место равенство a ± 2√d = (√x₁ ± √x₂)², где x₁ и x₂ являются корнями уравнения x² - ax + d = 0.

При этом, если исходное выражение действительно можно упростить, указанное квадратное уравнение будет иметь рациональные корни.

Этот метод применять и в том случае, когда вместо числовых значений фигурируют переменные. Но в этом случае нужно быть внимательным при раскрытии модуля, чтобы не расширить или не сузить область допустимых значений.

2. Упрощение выражения вида √a ± √b и ³√a ± ³√b (a, b ∈ R).

Для упрощения выражений такого типа следует обозначить его неким x, а далее поднести в соотвествующую степень обе части равенства. В случае с корнем второй степени это будет выглядеть следующим образом:

√a ± √b = x;

(√a ± √b)² = x²;

a ± 2√ab + b = x². ^(*)

Зачастую, если выражение можно упростить, значение √ab будет целым. А потому и вся левая часть предыдущего равенства ^(*) будет целая. Взяв из нее квадратный корень получим упрощенный вариант исходного выражения.

Аналогичные действия стоит предпринимать и в случае упрощения выражений представленных в виде суммы кубических корней неких значений.