Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения

Решение тригонометрических уравнений.

1. Простейшие тригонометрические уравнения (вида f(x) = a).

sin x = a (|a| ≤ 1)   ⇒   x = (-1)n arcsin a + πn, n ∈ Z.

cos x = a (|a| ≤ 1)   ⇒   x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z.

tg x = a (aR)   ⇒   x = arctg a + πn, n ∈ Z.

ctg x = a (aR)   ⇒   x = arcctg a + πn, n ∈ Z.

2. Способ замены.

Этот способ следует применять в том случае, когда после преобразований получаем некое алгебраическое уравнения относительно тригонометрической функции.

Уравнение вида a(sin x + cos x) + b sin 2x = c решаем, используя замену sin x + cos x = t. Тогда 1 + sin 2x = t2, а уравнение после замены приобретает вид

at + b(t2 - 1) = c.

3. Разложение на множители.

Некоторые уравнения можно преобразовать так, что слева будет произведение, а справа - ноль. После чего необходимо каждый множитель приравнять к нулю и найти всевозможные корни уравнения.

4. Однородные тригонометрические уравнения вида

a0(cos x)n + a1(cos x)n - 1sin x + ... + an - 1cos x(sin x)n - 1 + an(sin x)n = 0, nN, a0 ≠ 0.

Для его решения необходимо поделить уравнение на (sin x)n ≠ 0 (т.к. sin x, cos x одновременно не равны 0). После чего вводим замену ctg x = z и получаем алгебраическое уравнение

a0zn + a1zn - 1 + ... + an - 1z + an = 0, nN, a0 ≠ 0.

5. Универсальная замена.

При решении некоторых уравнений (например, asinx + bcosx = c, a, b, cR) имеет смысл использовать замену tg x/2 = z. После чего sin x = 2z/(1 + z2), cos x = (1 - z2)/(1 + z2), tg x = 2z/(1 - z2). Так как tg x/2 не определен при x = π + 2πn, nZ, то эта подстановка может привести к потери корней. Потому необходимо проверять, не являются ли числа вида x = π + 2πn, nZ корнями исходного уравнения.


Решение тригонометрических неравенств.

Простейшие тригонометрические уравнения (вида f(x) > a, f(x) < a)

sin x < a   ⇒

π(2n - 1) - arcsin a < x < arcsin a + 2πn, при a ∈ (-1;1] (nN);

xR, при a > 1;

x ∈ ∅, при a ≤ -1.

sin x > a   ⇒

2nπ + arcsin a < x < π(2n + 1) - arcsin a, при a ∈ [-1;1) (nN);

xR, при a < -1;

x ∈ ∅, при a ≥ -1.

cos x < a   ⇒

n + arccos a < x < 2π(n + 1) - arccos a, при a ∈ (-1;1] (nN);

xR, при a > 1;

x ∈ ∅, при a ≤ -1.

cos x > a   ⇒

n - arccos a < x < 2πn + arccos a, при a ∈ [-1;1) (nN);

xR, при a < -1;

x ∈ ∅, при a ≥ 1.

tg x < a   ⇒

πn - π/2 < x < πn + arctg a, при aR (nN);

tg x > a   ⇒

πn + arctg a < x < πn + π/2, при aR (nN);

сtg x < a   ⇒

πn + arсctg a < x < π(n + 1), при aR (nN);

сtg x > a   ⇒

πn < x < πn + arсctg a, при aR (nN);



Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Говорят, что академик Колмогоров (1903 - 1987) очень гордился выведенной им формулой, описывающую женскую логику:
"Если из A следует B, и B приятно, то А - истинно".
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.