Решение тригонометрических уравнений.
1. Простейшие тригонометрические уравнения (вида f(x) = a).
sin x = a (|a| ≤ 1) ⇒ x = (-1)n arcsin a + πn, n ∈ Z.
cos x = a (|a| ≤ 1) ⇒ x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z.
tg x = a (a ∈ R) ⇒ x = arctg a + πn, n ∈ Z.
ctg x = a (a ∈ R) ⇒ x = arcctg a + πn, n ∈ Z.
2. Способ замены.
Этот способ следует применять в том случае, когда после преобразований получаем некое алгебраическое уравнения относительно тригонометрической функции.
Уравнение вида a(sin x + cos x) + b sin 2x = c решаем, используя замену sin x + cos x = t. Тогда 1 + sin 2x = t2, а уравнение после замены приобретает вид
at + b(t2 - 1) = c.
3. Разложение на множители.
Некоторые уравнения можно преобразовать так, что слева будет произведение, а справа - ноль. После чего необходимо каждый множитель приравнять к нулю и найти всевозможные корни уравнения.
4. Однородные тригонометрические уравнения вида
a0(cos x)n + a1(cos x)n - 1sin x + ... + an - 1cos x(sin x)n - 1 + an(sin x)n = 0, n ∈ N, a0 ≠ 0.
Для его решения необходимо поделить уравнение на (sin x)n ≠ 0 (т.к. sin x, cos x одновременно не равны 0). После чего вводим замену ctg x = z и получаем алгебраическое уравнение
a0zn + a1zn - 1 + ... + an - 1z + an = 0, n ∈ N, a0 ≠ 0.
5. Универсальная замена.
При решении некоторых уравнений (например, asinx + bcosx = c, a, b, c ∈ R) имеет смысл использовать замену tg x/2 = z. После чего sin x = 2z/(1 + z2), cos x = (1 - z2)/(1 + z2), tg x = 2z/(1 - z2). Так как tg x/2 не определен при x = π + 2πn, n ∈ Z, то эта подстановка может привести к потери корней. Потому необходимо проверять, не являются ли числа вида x = π + 2πn, n ∈ Z корнями исходного уравнения.
Решение тригонометрических неравенств.
Простейшие тригонометрические уравнения (вида f(x) > a, f(x) < a)
sin x < a ⇒
π(2n - 1) - arcsin a < x < arcsin a + 2πn, при a ∈ (-1;1] (n ∈ N);
x ∈ R, при a > 1;
x ∈ ∅, при a ≤ -1.
sin x > a ⇒
2nπ + arcsin a < x < π(2n + 1) - arcsin a, при a ∈ [-1;1) (n ∈ N);
x ∈ R, при a < -1;
x ∈ ∅, при a ≥ -1.
cos x < a ⇒
2πn + arccos a < x < 2π(n + 1) - arccos a, при a ∈ (-1;1] (n ∈ N);
x ∈ R, при a > 1;
x ∈ ∅, при a ≤ -1.
cos x > a ⇒
2πn - arccos a < x < 2πn + arccos a, при a ∈ [-1;1) (n ∈ N);
x ∈ R, при a < -1;
x ∈ ∅, при a ≥ 1.
tg x < a ⇒
πn - π/2 < x < πn + arctg a, при a ∈ R (n ∈ N);
tg x > a ⇒
πn + arctg a < x < πn + π/2, при a ∈ R (n ∈ N);
сtg x < a ⇒
πn + arсctg a < x < π(n + 1), при a ∈ R (n ∈ N);
сtg x > a ⇒
πn < x < πn + arсctg a, при a ∈ R (n ∈ N);