Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения
1 2...3...4 

Упростить выражение 11 + 218 + |218 - 11|.

_________________________________________

Воспользуемся методом упрощения таких выражений:

11 + 218 + |218 - 11| = x;

(11 + 218 + |218 - 11|)2 = x2;

11 + 2√18 + 2(11 + 218)(|218 - 11|) + |2√18 - 11| = x2;

Чтобы избавиться от модуля оценим 2√18 и 11.

Так как 72 < 121, то √72 < √121, а значит 2√18 < 11. Модуль открываем со знаком "-".

11 + 2√18 + 2121 - 72 + 11 - 2√18 = x2;

22 + 249 = x2;

22 + 14 = x2;

x = 6 (т.к. исходное выражение было положительным).

Ответ: 6.


 

Упростить выражение |125 - 29| - 125 + 29.

_________________________________________

Для начала оценим 12√5 и 29, чтобы избавиться от модуля.

Так как 720 < 841, то √720 < √841 и 12√5 < 29. Модуль открываем со знаком "-".

Используем метод упрощения выражения:

29 - 125 - 29 + 125 = x;

(29 - 125 - 29 + 125)2 = x2;

29 - 12√5 - 2(29 - 125)(29 + 125) + 29 + 12√5 = x2;

58 - 2√841 - 720 = x2;

36 = x2;

x = -6 (т.к. исходное выражение отрицательное).

Ответ: -6.


 

Упростить выражение 32 + 5 + 32 - 5.

____________________________________

Используем способ упрощения таких выражений:

32 + 5 + 32 - 5 = x; (*)

(32 + 5 + 32 - 5)3 = x3;

2 + √5 + 3(3(2 + 5)(2 - 5)(32 + 5 + 32 - 5) + 2 - √5 = x3;

С учетом (*) равенство примет вид:

4 + 3x·34 - 5 = x3;

x3 + 3x - 4 = 0;

x3 - x2 + x2 + 3x - 4 = 0;

x2(x - 1) + (x - 1)(x + 4) = 0;

(x - 1)(x2 + x + 4) = 0;

Второй множитель больше нуля, а потому решение уравнения одно x = 1. А это и есть искомое выражение.

Ответ: 1.


 

Упростить выражение 320 + 142 + 320 - 142.

__________________________________________

Используем метод упрощения:

320 + 142 + 320 - 142 = x; (*)

(320 + 142 + 320 - 142)3 = x3;

20 + 14√2 + 3·3(20 + 142)(20 - 142) (320 + 142 + 320 - 142) + 20 - 14√2 = x3;

Используя замену (*) получим:

40 + 3x·3400 - 392 = x3;

x3 - 6x - 40 = 0;

x3 - 16x + 10x - 40 = 0;

x(x2 - 16) + 10(x - 4) = 0;

x(x - 4)(x + 4) + 10(x - 4) = 0;

(x - 4)(x2 + 4x + 10) = 0;

Значение во вторых скобках всегда положительное, а потому единственное решение уравнения x = 4. А это и есть значение нашего исходного выражения.

Ответ: 4.



1 2...3...4 
Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Дайте мне точку опоры - и я переверну Землю!
Архимед
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.