Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия


Формулы суммы первой степени, квадратов, кубов первых n натуральных чисел.


Покажем, что для любого nN имеют место следующие равенства:

1) 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)

2

;
2) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

;
3) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = n2(n + 1)2

4

;

Доказательство



1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)

2

Данная формула известна, как результат суммы членов арифметической прогрессии и доказать ее можно многими способами. Один из них, например, следующий. Запишем снизу, под суммой 1 + 2 + 3 + ... + n, сумму в обратном порядке:

1 + 2 + ... + n - 1 + n
n + n - 1 + ... + 2 + 1

Если сложить эти две строки, то, с одной стороны, мы будем иметь удовенную изначальную сумму, т.е. 2(1 + 2 + 3 + ... + n). С другой стороны, заметим, что каждая пара чисел, стоящие одно над другим, дают в сумме n + 1 (для наглядности пары чисел выделены одинаковым цветом). Первая (синяя) дает n + 1, а каждой последующей верхнее число увеличивается на 1, а нижнее на 1 уменьшается. Таким образом суммы в последующих парах будут равняться n + 1. Всего таких пар n (по количеству чисел в сумме), а потому мы имеем равенство: 2(1 + 2 + 3 + ... + n) = n(n + 1), откуда и получаем искомую формулу.



12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

Докажем с помощью метода математической индукции.

База индукции.

Проверим, выполняется ли равенство при n = 1.

12 = 1·2·3/6 = 1.

База проверена.

Переход.

Пусть для некоторого kN выполняется равенство

12 + 22 + 32 + ... + k2 = k(k + 1)(2k + 1)

6

;

Докажем, что оно выполняется и для k + 1, т.е., что

12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k + 1)2 =? (k + 1)(k + 2)(2k + 3)

6

; (*)

Пользуемся переходом, получаем

k(k + 1)(2k + 1)

6

+ (k + 1)2 =? (k + 1)(k + 2)(2k + 3)

6

;

Умножаем обе части на 6, сокращаем на k + 1:

k(2k + 1) + 6(k + 1) =? (k + 2)(2k + 3);

2k2 + 7k + 6 = 2k2 + 7k + 6.

Достигается равенство, а, значит, (*) - верно. Переход, а потому и равенство доказано.



13 + 23 + 33 + ... + n3 = n2(n + 1)2

4

Здесь также воспользуемся методом математической индукции.

База индукции.

Проверим, выполняется ли равенство при n = 1.

13 = 12·22/4 = 1.

База проверена.

Переход.

Пусть для некоторого kN выполняется равенство

3) 13 + 23 + 33 + ... + k3 = k2(k + 1)2

4

;

Докажем, что оно выполняется и для k + 1, т.е., что

3) 13 + 23 + 33 + ... + (k + k + 1)3 =? (k + 1)2(k + 2)2

4

; (**)

Пользуемся переходом, получаем

k2(k + 1)2

4

+ (k + 1)3 =? (k + 1)2(k + 2)2

4

;

Умножаем обе части на 4, сокращаем на (k + 1)2:

k2 + 4(k + 1) =? (k + 2)2;

k2 + 4k + 4 = k2 + 4k + 4;

Достигается равенство, а, значит, (**) - верно. Переход, а потому и равенство доказано.


Назад

Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Однажды один из учеников Евклида спросил его: "А какая мне будет практическая польза от изучения геометрии?" В ответ Евклид позвал раба и, указывая на ученика, сказал: "Дай ему монету - он ищет выгоду, а не знаний!"
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.

доильный аппарат майга