Последовательность - это набор элементов некоторого множества. Бесконечная последовательность - последовательность, которая задается функцией с областью определения N. В том случае, когда эта функция числовая, то последовательность называется бесконечной числовой последовательностью. Далее будем рассматривать числовые последовательности. Значение f(n), которое соответствует натуральному числу n, называется n-м членом последовательности. Иногда вместо f(n) используются обозначения a_n, x_n.

Примеры числовой последовательности:

f(n) = 3n + 2, откуда f(1) = 5, f(2) = 8,..., f(100) = 302,... ;

f(n) = 1 + (-1)ⁿ, откуда f(1) = 0, f(2) = 2,... или, в общем случае, f(2k - 1) = 0, f(2k) = 2 (k ∈ N).

Как функцию числовую последовательность можно задавать различными способами. Формула, которая задает числовую последовательность, называется формулой n-го (или общего) члена. С ее помощью можно получить значение любого элемента последовательности, подставив в формулу ее номер. Например: a_n = 2ⁿ.

Существует еще один способ задания числовой последовательности - рекуррентный. Он выражает любой член последовательности через предыдущие. Например: a_n = 2(a_n-1 + 3), a₁ = 2. Тогда a₂ = 10, a₃ = 26,...

Если последовательность имеет конечное количество членов, она называется конечной. Например, конечной является последовательность трехзначных чисел: 100, 101, ... , 999. Она состоит из 900 элементов.

Последовательность называется возрастающей, если для любого n ∈ N выполняется неравенство a_n < a_n+1.

Последовательность называется спадающей, если для любого n ∈ N выполняется неравенство a_n > a_n+1.

Возрастающие и спадающие последовательности называются монотонными.

Например, последовательность заданная формулой a_n = n/(n + 1), является монотонной, возрастающей, т.к. разница a_n+1 - a_n = (n + 1)/(n + 2) - n/(n + 1) = 1/(n + 1)(n + 2) > 0. То есть a_n < a_n+1. Последовательность с общим членом a_n = 1 + (-1)ⁿ не является монотонной, т.к. a₁ < a₂, а a₂ > a₃.

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число M ∈ R, что a_n ≤ M.

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число m ∈ R, что a_n ≥ m.

Например, последовательность a_n = n ограничена снизу, но не ограничена сверху. Последовательность a_n = (-1)ⁿn не ограничена ни сверху, ни снизу.

Последовательность называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху, и снизу.

Число a называется границей последовательности (a_n), если для любого ε > 0 существует натуральное число N, такое, что для всех n > N выполняется неравенство |a_n - a| < ε. Это записывается так: limn→∞a_n = a или a_n → a.

Последовательность, которая имеет границу, называется сходящейся. Последовательность, которая не имеет границу, называется расходящейся.

Если limn→∞a_n = 0, то последовательность (a_n) называется бесконечно малой.

Свойства пределов числовой последовательности:

1. Если limn→∞a_n = a и limn→∞b_n = b, то limn→∞(a_n + b_n) = a + b;

2. Если limn→∞a_n = a и limn→∞b_n = b, то limn→∞(a_nb_n) = ab;

3. Если limn→∞a_n = a и limn→∞b_n = b ≠ 0, то limn→∞(a_n/b_n) = a/b;

4. limn→∞ca_n = climn→∞a_n, где c ∈ R;

5. Если limn→∞a_n = limn→∞b_n = a и a_n ≤ c_n ≤ b_n, то limn→∞c_n = a.

6. Если limn→∞a_n = a, limn→∞b_n = b и a_n < b_n при n ∈ N, то a ≤ b.

Полезные теоремы смотрите в разделе "Методы решения".