Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения

Школьный курс комбинаторики обычно имеет дело с задачами выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества, согласно неких правил.

Для формулирования и решения задач по комбинаторике используют следующие конфигурации: перестановки, размещения, сочетания.

Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до n, где n - число элементов множества.

Перестановка.

Пусть мы имеем некое упорядоченное множество N состоящее из n различных элементов. Перестановкой из n элементов называется такой набор элементов множества, которые отличаются от исходного лишь порядком элементов. Обычно перестановка обозначается как Pn и рассчитывается по формуле:

Pn = n!


Пример:

Найти число перестановок множества, состоящего из трех элементов: A, B, C.

Согласно формуле, количество перестановок будет равно 3! = 6.

Действительно, это наборы (ABC),(ACB),(BAC),(BCA),(CAB),(CBA).


Размещение.

Пусть мы имеем некое упорядоченное множество N состоящее из n различных элементов. Размещением из n элементов по k будет называться упорядоченное подмножество из k не повторяющихся элементов выбранные из множества, состоящего из n элементов. Обычно перестановка обозначается как Ank и рассчитывается по формуле:

Ank = n!

(n - k)!


Пример:

Найти число размещений множества, состоящего из четырех элементов: A, B, C, D по два, т.е. сколько различных размещений по два элемента можно составить из указанного множества.

Согласно формуле, количество размещений будет равно 4!/(4-2)! = 24/2 = 12.

Действительно, это наборы (AB),(BA),(AC),(CA),(AD),(DA),(BC),(CB),(BD),(DB),(CD),(DC).


Сочетание.

Пусть мы имеем некое упорядоченное множество N состоящее из n различных элементов. Сочетанием из n элементов по k будет называться подмножество из k не повторяющихся элементов выбранные из множества, состоящего из n элементов. Подмножества, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений. Обычно сочетание обозначается как Сnk и рассчитывается по формуле:

Сnk = n!

k!(n - k)!


Пример:

Найти число сочетаний множества, состоящего из четырех элементов: A, B, C, D по два.

Согласно формуле, количество сочетаний будет равно 4!/2!(4-2)! = 24/4 = 6.

Действительно, это наборы (AB),(AC),(AD),(BC),(BD),(CD).


Свойства сочетаний:

1. Сn0 = 1.

2. Сnk = Сnn - k.

3. Сnk = Сn - 1k - 1 + Сn - 1k

4. Сn0 + Сn1 + Сn2 + ... + Сnn - 1 + Сnn = 2n.

Сочетание играет важную роль в математике. В частности, он используется в биноме Ньютона.

Бином Ньютона.

Бином Ньютона - это отношение, позволяющая представить выражение (a + b)n (nZ+) в виде многочлена, а именно:

(a + b)n = an + Сn1an - 1b + Сn2an - 2b2 + ... + Сnkan - kbk + ... + Сnn - 1abn - 1 + bn.

Числа Сn1, Сn2, ... , Сnn - 1 называются биномиальными коэффициентами.

С помощью следующей таблицы можно определить значения биномиальных коэффициентов для любой степени. Строится он следующим образом - любое число образуется суммой рядом стоящих чисел над ним. Именно потому эта таблица имеет название треугольник Паскаля.


0
1
1
1  1
2
1  2  1
3
1  3  3  1
4
1  4   6   4  1
5
1  5  10  10  5  1
6
1  6  15  20  15  6  1
7
1  7  21  35  35  21  7  1
8
1  8  28  56  70  56  28  8  1

Слева указана степень n, справа значения соответствующих биномиальных коэффициентов.


Пример:

Представить в виде многочлена (a + 1)4.

Согласно таблице, в случае четвертой степени коэффициенты результирующего многочлена будут равны 1, 4, 6, 4, 1.

И, действительно (a + 1)4 = a4 + 4a3 + 6a2 + 4a + 1.




Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Самая старая математическая задача датируется 1650 г. до н.э. и звучит следующим образом:

По дороге на Дижон
Встретил я мужа и семь его жен.
У каждой жены по семь тюков,
В каждом тюке по семь котов.
Сколько котов, тюков и жен
Мирно двигались в Дижон?
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.

оборудование для ресторанов и для кафе.