Решить уравнение 4sin²x - 3sinxcosx + 5cos²x = 3.

_____________________________________

Заметим, что если бы в правой части был ноль, данное уравнение было бы однородным и мы знали как его решить. Проведем преобразование и сделаем его таковым:

sin²x - 3sinxcosx + 2cos² + 3(sin²x + cos²x) = 3;

sin²x - 3sinxcosx + 2cos²x = 0.

А вот это уравнение является однородным, потому делим обе его части на sin²x ≠ 0 (ведь, если sinx = 0, то и cosx = 0, что одновременно невозможно).

1 - 3ctgx + 2ctg²x = 0;

2ctg²x - 3ctgx + 1 = 0.

Теперь мы можем использовать замену переменной, а именно ctgx = t и решать квадратное уравнение относительно t:

2t² - 3t + 1 = 0.

Уравнение имеет корни t₁ = 1, t₂ = 1/2.

Возвращаемся к неизвестному x и получаем

из t₁: ctgx = 1, откуда x = π/4 + πn (n ∈ Z);

из t₂: ctgx = 1/2, откуда x = arcctg(1/2) + πm (m ∈ Z).

Ответ: x = π/4 + πn или x = arcctg(1/2) + πm.

Решить уравнение sinx + tg(x/2) = 2.

___________________________________

Заметим, что числа π + 2πn (n ∈ Z) не являются корнями данного уравнения, потому можно воспользоваться универсальной заменой tg(x/2) = t. Тогда уравнение примет вид:

2t/(1 + t²) + t = 2;

t³ - 2t² + 3t - 2 = 0;

t²(t - 1) - (t² - 3t + 2) = 0;

t²(t - 1) - (t - 2)(t - 1) = 0;

(t - 1)(t² - t + 2) = 0;

Так как второй множитель всегда положителен, то решение одно t = 1. Возвращаясь к исходному неизвестному получаем:

tg(x/2) = 1, откуда

x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.

Ответ: x = π/2 + 2πn.

Решить уравнение 3sinx - 2cosx = 1/2.

_____________________________________

Заметим, что решения вида π + 2πn (n ∈ Z) не будут корнями уравнения. Применяем замену tg(x/2) = y. Получим уравнение:

Откуда 3y² + 12y - 5 = 0.

Корни следующие y = (-6 ± √51)/3. Возвращаемся к исходной переменной, получаем:

tg(x/2) = (-6 ± √51)/3;

x = 2arctg((-6 ± √51)/3) + 2πn (n ∈ Z).

Ответ: x = 2arctg((-6 ± √51)/3) + 2πn.

Решить уравнение 4sinx - 3cosx = 3.

______________________________

Применим универсальную замену tg(x/2) = y. Отметим, что числа π + 2πn (n ∈ Z) являются корнями указанного уравнения, потому добавляем их к ответу.

Замена же приводит к следующему уравнению:

Делая преобразования получаем 8y = 6;

y = 3/4.

Возвращаемся к исходной переменной tg(x/2) = 3/4, откуда

x = 2arctg(3/4) + 2πn (n ∈ Z).

Ответ: x = 2arctg(3/4) + 2πn или x = π + 2πn.