Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения
1 2 3...4...5 

Решить уравнение 4sin2x - 3sinxcosx + 5cos2x = 3.

_____________________________________

Заметим, что если бы в правой части был ноль, данное уравнение было бы однородным и мы знали как его решить. Проведем преобразование и сделаем его таковым:

sin2x - 3sinxcosx + 2cos2 + 3(sin2x + cos2x) = 3;

sin2x - 3sinxcosx + 2cos2x = 0.

А вот это уравнение является однородным, потому делим обе его части на sin2x ≠ 0 (ведь, если sinx = 0, то и cosx = 0, что одновременно невозможно).

1 - 3ctgx + 2ctg2x = 0;

2ctg2x - 3ctgx + 1 = 0.

Теперь мы можем использовать замену переменной, а именно ctgx = t и решать квадратное уравнение относительно t:

2t2 - 3t + 1 = 0.

Уравнение имеет корни t1 = 1, t2 = 1/2.

Возвращаемся к неизвестному x и получаем

из t1: ctgx = 1, откуда x = π/4 + πn (nZ);

из t2: ctgx = 1/2, откуда x = arcctg(1/2) + πm (mZ).

Ответ: x = π/4 + πn или x = arcctg(1/2) + πm.


 

Решить уравнение sinx + tg(x/2) = 2.

___________________________________

Заметим, что числа π + 2πn (nZ) не являются корнями данного уравнения, потому можно воспользоваться универсальной заменой tg(x/2) = t. Тогда уравнение примет вид:

2t/(1 + t2) + t = 2;

t3 - 2t2 + 3t - 2 = 0;

t2(t - 1) - (t2 - 3t + 2) = 0;

t2(t - 1) - (t - 2)(t - 1) = 0;

(t - 1)(t2 - t + 2) = 0;

Так как второй множитель всегда положителен, то решение одно t = 1. Возвращаясь к исходному неизвестному получаем:

tg(x/2) = 1, откуда

x = π/2 + 2πn, nZ.

Ответ: x = π/2 + 2πn.


 

Решить уравнение 3sinx - 2cosx = 1/2.

_____________________________________

Заметим, что решения вида π + 2πn (nZ) не будут корнями уравнения. Применяем замену tg(x/2) = y. Получим уравнение:

2y

1 + y2

- 2· 1 - y2

1 + y2

= 1

2

;

Откуда 3y2 + 12y - 5 = 0.

Корни следующие y = (-6 ± 51)/3. Возвращаемся к исходной переменной, получаем:

tg(x/2) = (-6 ± 51)/3;

x = 2arctg((-6 ± 51)/3) + 2πn (nZ).

Ответ: x = 2arctg((-6 ± 51)/3) + 2πn.


 

Решить уравнение 4sinx - 3cosx = 3.

______________________________

Применим универсальную замену tg(x/2) = y. Отметим, что числа π + 2πn (nZ) являются корнями указанного уравнения, потому добавляем их к ответу.

Замена же приводит к следующему уравнению:

2y

1 + y2

- 3· 1 - y2

1 + y2

= 3.

Делая преобразования получаем 8y = 6;

y = 3/4.

Возвращаемся к исходной переменной tg(x/2) = 3/4, откуда

x = 2arctg(3/4) + 2πn (nZ).

Ответ: x = 2arctg(3/4) + 2πn или x = π + 2πn.



1 2 3...4...5 
Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Самая старая математическая задача датируется 1650 г. до н.э. и звучит следующим образом:

По дороге на Дижон
Встретил я мужа и семь его жен.
У каждой жены по семь тюков,
В каждом тюке по семь котов.
Сколько котов, тюков и жен
Мирно двигались в Дижон?
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.